Skillnad mellan versioner av "4.3 Lathund till 10-logaritmer"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(188 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[3.4 10-logaritmer|Genomgång 10-logaritmer]]}}
+
{{Not selected tab|[[4.3 10-logaritmer|Genomgång]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.4 Quiz till 10-logaritmer, ver 2|Quiz]]}}
+
{{Not selected tab|[[4.3 Quiz till 10-logaritmer|Quiz]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.4 Övningar till 10-logaritmer|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[4.3 Övningar till 10-logaritmer|Övningar]]}}
−
{{Selected tab|[[3.4 Lathund till 10-logaritmer|Lathund]]}}
+
{{Selected tab|[[4.3 Lathund till 10-logaritmer|Lathund]]}}
 +
{{Not selected tab|[[4.4 Logaritmlagarna & Logaritmer med olika baser|Nästa avsnitt  >> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
|}
 
|}
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">10-logaritmer</span></b> ==
+
== <b><span style="color:#931136">10-logaritmen</span></b> ==
 
<br>
 
<br>
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: 10-logaritm_320.jpg]]
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: 10-logaritm_320.jpg]]
 
<br><br>
 
<br><br>
−
<div class="border-divblue">
+
<div class="ovnE">
 
<big><b><span style="color:#931136">Logaritm</span></b> &nbsp; = &nbsp; exponent
 
<big><b><span style="color:#931136">Logaritm</span></b> &nbsp; = &nbsp; exponent
  
 
<b><span style="color:#931136">10-logaritm</span></b> = exponent till basen <math> 10 </math>.  
 
<b><span style="color:#931136">10-logaritm</span></b> = exponent till basen <math> 10 </math>.  
  
−
Potensform<span style="color:black">:</span> <math> \quad 10\,^{\color{Red} 2} \; = \; 100 </math>
+
----
  
−
Logaritmform<span style="color:black">:</span> <math> \quad \lg\,100 \; = \; {\color{Red} 2} </math>
+
<b><span style="color:#931136"><math>\lg</math></span></b> är symbolen för 10-logaritmen.
  
−
<b><span style="color:#931136"><math>\lg</math></span></b> är symbolen för 10-logaritmen,
+
----
  
−
i räknaren: LOG
+
<b><span style="color:#931136"><math>\lg 100 \, </math></span></b> = &nbsp; tal som basen <math>10</math> ska upp-
−
 
+
−
<math> \lg 100 = </math> tal som basen <math>10</math> ska upp-
+
  
 
höjas till, för att ge <math>100</math>. Det talet är <math>{\color{Red} 2}</math>.
 
höjas till, för att ge <math>100</math>. Det talet är <math>{\color{Red} 2}</math>.
Rad 33: Rad 32:
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Potenslagarna</span></b> ==
+
<big>Generellt:</big>
−
<br />
+
 
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
−
<b><span style="color:#931136">Första potenslagen:</span></b>
+
== <small><b><span style="color:#931136">Definition:</span></b></small> ==
 +
 
 +
<big><b><span style="color:#931136"><math>\lg a \, </math></span></b> = &nbsp; tal som basen <math>10</math> ska upphö-
 +
 
 +
<math> \qquad\;\;\; </math> jas till, för att ge <math> \, a \, </math>.
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel på 10-logaritmer</span></b> ==
 
<br>
 
<br>
−
<big><math> \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad </math></big>
+
<div class="ovnE">
 +
<big><b><span style="color:#931136"><math>\lg 125 \, </math></span></b> = &nbsp; tal som basen <math>10</math> ska upp-
 +
 
 +
<math> \qquad\quad\;\;\; </math> höjas till, för att ge <math>125</math>.
 +
 
 
----
 
----
−
<b><span style="color:#931136">Andra potenslagen:</span></b>
+
 
−
<br>
+
Räknaren<span style="color:black">:</span> <small><math> \boxed{\text{LOG}}</math></small> <math>(125) = </math> <small><math> {\color{Red} {2,09691\ldots}} </math></small>
−
<big><math> \qquad\qquad\qquad\;\;\, \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad </math></big>
+
 
 
----
 
----
−
<b><span style="color:#931136">Tredje potenslagen:</span></b>
+
 
 +
Potensform<span style="color:black">:</span> <math> \;\;\; 125 \; = \; 10\,^{\color{Red} {2,09691\ldots}} </math>
 +
 
 +
<math> \qquad\qquad\qquad\quad\;\,\, \Updownarrow </math>
 +
 
 +
Log-form<span style="color:black">:</span> <b><span style="color:#931136"><math> \;\; \lg\,125 \; </math></span></b><math> \; = \; {\color{Red} {2,09691\ldots}} </math>
 +
</big></div>
 
<br>
 
<br>
−
<big><math> \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad </math></big>
+
<div class="ovnC">
 +
<big><b><span style="color:#931136"><math>\lg\,0,1</math></span></b> = <math>\lg\,(\frac{1}{10})</math> = tal som basen <math>10</math>
 +
 
 +
ska upphöjas till, för att ge <math>\frac{1}{10}</math>.
 +
 
 
----
 
----
−
<b><span style="color:#931136">Lagen om nollte potens:</span></b>
 
−
<br>
 
−
<big><math> \qquad\qquad\qquad\quad a\,^0 \; = \; 1 \qquad </math></big>
 
−
----
 
−
<b><span style="color:#931136">Lagen om negativ exponent:</span></b>
 
−
<br>
 
−
<big><math> \qquad\qquad\qquad\;\, a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad </math></big>
 
−
----
 
−
<b><span style="color:#931136">Potens av en produkt:</span></b>
 
−
<br>
 
−
<big><math> \qquad\qquad\;\;\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad </math></big>
 
−
----
 
−
<b><span style="color:#931136">Potens av en kvot:</span></b>
 
−
<br>
 
−
<big><math> \qquad\qquad\quad\;\; \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad </math></big>
 
−
</div> <!-- border-divblue -->
 
  
 +
Potensform<span style="color:black">:</span> <math> \quad\;\;\; \frac{1}{10} \; = \; 10\,^{\color{Red} {-1}} </math>
  
−
== <b><span style="color:#931136">Potenser med negativa exponenter</span></b> ==
+
<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\, \Updownarrow </math>
 +
 
 +
Log-form<span style="color:black">:</span> <b><span style="color:#931136"><math> \;\;\;\; \lg\,0,1 \; </math></span></b><math> \; = \; {\color{Red} {-1}} </math>
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">10-logaritmens definitionsmängd</span></b> ==
 +
<br>
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
−
<big>Exempel på potens med negativ exponent<span style="color:black">:</span>
+
<big><b><span style="color:#931136"><math>\lg x \, </math></span></b> är definierad endast för <math> \, x>0 \, </math>.
  
−
<math> \displaystyle 2\,^{\color{Red} {-3}} \, = \, 1\,/\,\underbrace{2 \, / \, 2 \, / \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, = \, 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \, =</math>
+
För <math> \, x \leq 0 \, </math> är <math> \, \lg x \, </math> <b><span style="color:red">inte</span></b> definierad.
  
−
<math> \qquad \displaystyle \, = \;\; \frac{1}{\underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times}} \;\; = \;\; \frac{1}{2\,^{\color{Red} {3}}} \;\; = \;\; \frac{1}{8} </math>  
+
Exempel:
 +
<small>
 +
<div class="ovnE">
 +
<small>
 +
<math> \boxed{\text{LOG}}</math> <math>({\color{Red} {-1}}) \quad \rightarrow \quad {\color{Red} {\text{ERROR}}} </math>
  
−
<b><span style="color:#931136">Potens med negativ exponent</span></b> = upprepad
+
<math> \boxed{\text{LOG}}</math> <math>({\color{Red} {\;0\;}}) \quad\, \rightarrow \quad {\color{Red} {\text{ERROR}}} </math>
 +
</small></div>
 +
</small>
 +
</big></div>
  
−
<b><span style="color:red">division</span></b> av <math> \, 1 \, </math> med basen <math> \, 2 </math>, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger.
 
  
−
----
+
== <b><span style="color:#931136">Inversegenskapen</span></b> ==
 +
<br>
 +
<div class="border-divblue">
 +
<big><math> \, y \, = \, \lg\,x \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa</span></b> (motsatta)
  
−
Eller: &nbsp;&nbsp; upprepad multiplikation med basens
+
funktionen till <math> \, y \, = \, 10\,^x \, </math>, dvs<span style="color:black">:</span>
  
−
<math> \qquad\;\; </math> <b><span style="color:red">invers</span></b> <math> \displaystyle \frac{1}{2} </math>, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger.
+
<math> \lg\,(10^{\,{\color{Red} x}}) = {\color{Red} x} \quad {\rm och\; } \quad 10^{\,\lg{\color{Red} x}} = {\color{Red} x} </math>
  
−
----
+
<small><math> \boxed{\text{LOG}} \, </math></small> och <math> \, 10 </math> <small><math> \boxed{\text{ ^ }} \, </math></small> <b><span style="color:red">tar ut varandra</span></b>.
  
−
<b><span style="color:#931136">Negativ exponent</span></b> innebär att <b><span style="color:red">invertera</span></b>
+
Exempel:
 +
<small>
 +
<div class="ovnE">
 +
<small><math> \boxed{\text{LOG}}</math></small> <math>({\color{Red} {1,5}}) \quad = \quad \cdots\cdots </math>
  
−
potensen med positiv exponent.
+
<math> 10 </math> <small><math> \boxed{\text{ ^ }} \; \boxed{\text{ANS}}</math></small> <math> \;\;\; = \quad\;\, {\color{Red} {1,5}} </math>
 +
</div>
  
−
----
+
<math> \;\; \boxed{\text{ANS}} </math> <big>är räknarens sist visade svar.</big>
  
−
Att <b><span style="color:red">"invertera"</span></b> t.ex. <math> \, 10 \, </math> ger <math> \, \displaystyle {1 \over 10} \; </math>.
+
<div class="ovnC">
 +
<math> 10 </math> <small><math> \boxed{\text{ ^ }}</math></small> <math>{\color{Red} {2,5}} \quad\;\;\, = \quad </math> <math> \cdots\cdots </math>
 +
 
 +
<small><math> \boxed{\text{LOG}} \, \left(\,\boxed{\text{ANS}}\,\right)</math></small> <math> = \quad\;\, {\color{Red} {2,5}} </math>
 +
</div>
 +
</small>
 
</big></div>
 
</big></div>
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Grundpotensform</span></b> ==
+
== <b><span style="color:#931136">Exponentialekvationer av typ <math> \; 10\,^x \, = \, b </math></span></b> ==
−
<br />
+
<br>
−
::[[Image: Grundpotensform_60b.jpg]]
+
<div class="ovnE">
 +
<math>\begin{array}{rcll}
 +
                                      10^{\,x} & = & 68      &  | \; \lg\,(\,\cdot\,) \\
 +
{\color{Red} {\lg}}\,({\color{Red} {10}}^{\,x}) & = & \lg\,68 &                        \\
 +
                                              x & = & \lg\,68 &                        \\
 +
                                              x & = & 1,8325089\ldots &              \\
 +
      \end{array}</math>
  
  
−
<div class="border-divblue">
+
Kontroll<span style="color:black">:</span>
−
== <small><b><span style="color:#931136">Definition:</span></b></small> ==
+
<math> \qquad 10^{\,1,832508913} \, = \, 68 </math>
  
−
::<math> a \, \cdot \, 10\,^n \quad\; {\rm kallas\;\;{\color{Red} {grundpotensform}}} </math>
+
I rad 1 logaritmeras ekvationens båda led.
  
−
::<math> {\rm om} \;\; n \;\; {\rm är\;\;heltal} \quad\; {\rm och} \quad\; 1 \leq a < 10 \; {\rm .} </math>
+
I rad 2&#x279b;3 ger inversegenskapen<span style="color:black">:</span> <math> {\color{Red} {\lg}}({\color{Red} {10}}^{\,x}) = x </math>
 
</div>
 
</div>
  
  
 +
<big>Generellt:</big>
 +
 +
<div class="border-divblue">
 +
<big>Exponentialekvationen <math> \;\;\; 10\,^x \, = \, b </math>
 +
 +
har lösningen<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\quad x \, = \, \lg\,b </math>
 +
</big></div>
  
  

Nuvarande version från 28 april 2024 kl. 08.25

       Genomgång          Quiz          Övningar          Lathund          Nästa avsnitt  >>      


10-logaritmen


     Fil:10-logaritm 320.jpg

Logaritm   =   exponent

10-logaritm = exponent till basen \( 10 \).

\(\lg\) är symbolen för 10-logaritmen.

\(\lg 100 \, \) =   tal som basen \(10\) ska upp-

höjas till, för att ge \(100\). Det talet är \({\color{Red} 2}\).


Generellt:

Definition:

\(\lg a \, \) =   tal som basen \(10\) ska upphö-

\( \qquad\;\;\; \) jas till, för att ge \( \, a \, \).


Exempel på 10-logaritmer


\(\lg 125 \, \) =   tal som basen \(10\) ska upp-

\( \qquad\quad\;\;\; \) höjas till, för att ge \(125\).

Räknaren: \( \boxed{\text{LOG}}\) \((125) = \) \( {\color{Red} {2,09691\ldots}} \)

Potensform: \( \;\;\; 125 \; = \; 10\,^{\color{Red} {2,09691\ldots}} \)

\( \qquad\qquad\qquad\quad\;\,\, \Updownarrow \)

Log-form: \( \;\; \lg\,125 \; \)\( \; = \; {\color{Red} {2,09691\ldots}} \)


\(\lg\,0,1\) = \(\lg\,(\frac{1}{10})\) = tal som basen \(10\)

ska upphöjas till, för att ge \(\frac{1}{10}\).

Potensform: \( \quad\;\;\; \frac{1}{10} \; = \; 10\,^{\color{Red} {-1}} \)

\( \qquad\qquad\qquad\qquad\, \Updownarrow \)

Log-form: \( \;\;\;\; \lg\,0,1 \; \)\( \; = \; {\color{Red} {-1}} \)


10-logaritmens definitionsmängd


\(\lg x \, \) är definierad endast för \( \, x>0 \, \).

För \( \, x \leq 0 \, \) är \( \, \lg x \, \) inte definierad.

Exempel:

\( \boxed{\text{LOG}}\) \(({\color{Red} {-1}}) \quad \rightarrow \quad {\color{Red} {\text{ERROR}}} \)

\( \boxed{\text{LOG}}\) \(({\color{Red} {\;0\;}}) \quad\, \rightarrow \quad {\color{Red} {\text{ERROR}}} \)


Inversegenskapen


\( \, y \, = \, \lg\,x \, \) är den inversa (motsatta)

funktionen till \( \, y \, = \, 10\,^x \, \), dvs:

\( \lg\,(10^{\,{\color{Red} x}}) = {\color{Red} x} \quad {\rm och\; } \quad 10^{\,\lg{\color{Red} x}} = {\color{Red} x} \)

\( \boxed{\text{LOG}} \, \) och \( \, 10 \) \( \boxed{\text{ ^ }} \, \) tar ut varandra.

Exempel:

\( \boxed{\text{LOG}}\) \(({\color{Red} {1,5}}) \quad = \quad \cdots\cdots \)

\( 10 \) \( \boxed{\text{ ^ }} \; \boxed{\text{ANS}}\) \( \;\;\; = \quad\;\, {\color{Red} {1,5}} \)

\( \;\; \boxed{\text{ANS}} \) är räknarens sist visade svar.

\( 10 \) \( \boxed{\text{ ^ }}\) \({\color{Red} {2,5}} \quad\;\;\, = \quad \) \( \cdots\cdots \)

\( \boxed{\text{LOG}} \, \left(\,\boxed{\text{ANS}}\,\right)\) \( = \quad\;\, {\color{Red} {2,5}} \)


Exponentialekvationer av typ \( \; 10\,^x \, = \, b \)


\(\begin{array}{rcll} 10^{\,x} & = & 68 & | \; \lg\,(\,\cdot\,) \\ {\color{Red} {\lg}}\,({\color{Red} {10}}^{\,x}) & = & \lg\,68 & \\ x & = & \lg\,68 & \\ x & = & 1,8325089\ldots & \\ \end{array}\)


Kontroll: \( \qquad 10^{\,1,832508913} \, = \, 68 \)

I rad 1 logaritmeras ekvationens båda led.

I rad 2➛3 ger inversegenskapen: \( {\color{Red} {\lg}}({\color{Red} {10}}^{\,x}) = x \)


Generellt:

Exponentialekvationen \( \;\;\; 10\,^x \, = \, b \)

har lösningen: \( \qquad\qquad\quad x \, = \, \lg\,b \)




Copyright © 2010-2017 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://kurser.mathonline.se/index.php?title=4.3_Lathund_till_10-logaritmer&oldid=13927"