Skillnad mellan versioner av "4.2 Introduktion till logaritmer: Exponentialfunktioner"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(76 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen| <<&nbsp;&nbsp; Tillbaka till Talet e]]}}
+
{{Not selected tab|[[4.1 Repetition: Potenser| <<&nbsp;&nbsp; Förra avsnitt]]}}
−
{{Selected tab|[[Exponentialfunktioner och logaritmer|Genomgång]]}}
+
{{Selected tab|[[4.2 Introduktion till logaritmer: Exponentialfunktioner|Genomgång]]}}
−
{{Not selected tab|[[Övningar till Exponentialfunktioner och logaritmer|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[4.2 Övningar till Introduktion logaritmer|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[Logaritmlagarna|Logaritmlagarna]]}}
+
{{Not selected tab|[[4.3 10-logaritmer|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 +
<!-- {{Not selected tab|[[4.4 Logaritmlagarna & Logaritmer med olika baser|Logaritmlagarna (nästnästa avsn.)]]}} -->
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
<big>
+
= <b><span style="color:#931136">Exponentialfunktioner är funktioner som har sin oberoende variabel <math> \, x \, </math> i <span style="color:red">exponenten</span>.</span></b> =
−
Exponentialfunktioner är sådana funktioner som har sin oberoende variabel <math> \, x \, </math> i exponenten.
+
  
−
 
−
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 50px;">[[Image: Exponentialfkt_600.jpg]]</div>
 
−
 
−
 
−
== <b><span style="color:#931136">Logaritmen till basen 10 (10-logaritmen)</span></b> ==
 
 
<br>
 
<br>
−
</big>
 
  
−
 
+
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 50px;">[[Image: Expfkt_800.jpg]]</div>
−
== <b><span style="color:#931136">Inversegenskapen</span></b> ==
+
−
 
+
−
<div class="ovnE">
+
−
==== <b><span style="color:#931136">Experiment</span></b> ====
+
−
 
+
−
Ta fram din miniräknare och mata först in <big><div class="smallBox"> <math> 10 \, </math><span style="color:black">''^''</span> </div></big>&nbsp;&nbsp; och sedan<span style="color:black"></span> <big><math> \qquad 2,5 </math></big>
+
−
 
+
−
Stäng parentesen och tryck på ENTER. Låt resultatet, <span style="color:red">något decimaltal</span>, stå i displayen.
+
−
 
+
−
Tryck på funktionsknappen för <math> \, 10</math>-logaritmen:
+
−
 
+
−
::::::::::<div class="smallBox"> <math> {\rm{LOG}} </math> </div>
+
−
 
+
−
Tryck på ANS (ANSwer lagrar räknarens sist beräknade värde), i vårt fall <span style="color:red">decimaltalet ovan</span>.
+
−
 
+
−
Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <math> \, 2,5 \, </math> som du hade matat in i början.
+
−
 
+
−
Experimentet har visat:
+
−
 
+
−
::::::::<big><math> \lg\,(10^{\,2,5}) \, = \, 2,5 </math></big>
+
−
</div>
+
  
 
<big>
 
<big>
−
Experimentet ovan är ett exempel på att <small><div class="smallBox"><math>{\rm{LOG}} \, </math> </div></small> &nbsp; är den inversa operationen till <small><div class="smallBox"><math>10 \, </math><span style="color:black">''^''</span> </div></small>&nbsp; . Generellt gäller:
+
::<b>Om log se nästa avsnitt: [[4.3 10-logaritmer|<span style="color:blue">10-logaritmer</span>]].</b>
 +
</big>
  
  
−
<div class="border-divblue">
+
= <b><span style="color:#931136">Exponential<span style="color:red">ekvationer</span></span></b> =
−
<math> 10</math>-logaritmen <math> \, y \, = \, \lg\,x \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa</span></b> (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, 10\,^x \, </math>, dvs<span style="color:black">:</span>
+
  
−
::<math> \lg\,(10^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad 10^{\,\lg\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } 10^{\,x} {\rm \;och\; } \lg\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
+
<big><big>
−
</div>
+
Själva operationen <math> a\,^x\, </math> dvs att <b><span style="color:red">ta <math> a </math> upphöjt till <math> x </math></span></b> kallas för <b><span style="color:red">exponentiering</span></b> och är en ny räkneoperation.
  
−
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> 10^{\,x} </math> och sedan <math> \lg\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.
+
Anta att <math> \, x \, </math> är en okänd variabel och <math> \, b\, </math> och <math> \, c \, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> .
  
−
Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> 10^{\,x} </math> och <math> \lg\,x </math> direkt efter varandra.
+
Exponentialfunktioner av typ <math> \, y \, = \, c \cdot a\,^{\color{Red} x} \, </math> ger upphov till en ny typ av ekvationer:
  
−
Både <math> \lg\,(10^{\,x}) </math> och <math> 10^{\,\lg\,x} </math> är exempel på s.k. <b><span style="color:red">sammansatta funktioner</span></b>. För sådana funktioner gäller regeln:
+
<div class="border-divblue">Ekvationer av typ <math> \, a\,^{\color{Red} x} = b \, </math> kallas för <b><span style="color:red">exponentialekvationer</span></b></div><math> \quad </math>, i exemplet ovan<span style="color:black">:</span> <math> \; 1,07\,^{\color{Red} x} \,= \, 2 \, </math>.
  
−
Sammansatta funktioner beräknas <b><span style="color:red">inifrån</span></b>: Experimentet ovan var ett exempel på detta. För att få <math> \, \lg\,(10^{\,2,5}) \, </math>, beräknades först <math> \, 10^{\,2,5} </math> och sedan <math> \, \lg\,(10^{\,2,5}) </math>.
 
−
</big>
 
  
 +
==== <b><span style="color:#931136">Variabeln <math> \, x\, </math> i exponenten  </span></b> ====
  
−
<div class="ovnE">
 
−
<big><b><span style="color:#931136">Exempel på inversegenskapen</span></b></big>
 
  
−
<div class="exempel">
+
I både exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer obekanten <math> \, {\color{Red} x}\, </math> i <b><span style="color:red">exponenten</span></b>.
−
<math>\begin{array}{rcll}
+
−
{\rm {\color{Red} {Potensformen:}}\qquad\quad}          10^{\,x} & = & 68                &  {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\lg} \\
+
−
                        \lg\,(10^{\,x}) & = & \lg\,68          &  {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL}  \\
+
−
{\rm {\color{Red} {Logaritmformen:}}\qquad\quad}                  x & = & \lg\,68          &                                            \\
+
−
                                      x & = & 1,832508913\ldots &                                            \\
+
−
{\rm Kontroll:\qquad} 10^{\,1,832508913} & = & 68                & 
+
−
        \end{array}</math>
+
−
</div></div>
+
  
 +
<div class="border-divblue">Exponentialekvationer löses genom <b><span style="color:red">logaritmering</span></b><br><br>som är exponentieringens inversa operation.</div>
  
−
== <b><span style="color:#931136">Exponentialekvationer</span></b> ==
+
Se de kommande avsnitten: [[4.3 10-logaritmer|<b><span style="color:blue">10-logaritmer</span></b>]] och [[4.4 Logaritmlagarna & Logaritmer med olika baser|<b><span style="color:blue">Logaritmlagarna ...</span></b>]].
  
−
<big>
 
−
Själva operationen <math> a^x\, </math> dvs att ta <math> \, a\, </math> upphöjt till <math> \, x\, </math> kallas för <b><span style="color:red">exponentiering</span></b> och är en ny räkneoperation.
 
  
−
När <math> \, x\, </math> är lika med <math> \, 2\, </math> pratar man om <b><span style="color:red">kvadrering</span></b>.
+
==== <b><span style="color:#931136">Variabeln <math> \, x\, </math> i basen</span></b> ====
  
−
Anta i fortsättningen att <math> x\, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> . 
 
  
−
::Funktioner av typ <math> y = 10^x\, </math> kallas för <b><span style="color:red">exponentialfunktioner</span></b>, generellt <math> \; y = c \cdot a^x\, </math>.
+
<b>OBS!</b> &nbsp; &nbsp; Till skillnad från exponentialekvationer förekommer i potensekvationer av typ <math> \, x\,^a\, = b \, </math> obekanten <math> \, x \, </math> i <b><span style="color:red">basen</span></b>.
  
−
::Ekvationer av typ <math> 10^x\,= 125 </math> kallas för <b><span style="color:red">exponentialekvationer</span></b>, generellt <math> \; a^x\, = b </math>.
+
För deras lösning används en annan operation:
  
−
I exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer <math> \, x\, </math> i <b><span style="color:red">exponenten</span></b>
+
<div class="border-divblue">Potensekvationer av typ <math> \, {\color{Red} x}\,^a\, = b  \, </math> löses genom <b><span style="color:red">rotdragning</span></b>.</div>
  
−
<div class="border-divblue">Exponentialekvationer löses genom <b><span style="color:red">logaritmering</span></b>.</div>
 
  
−
I potensfunktioner och -ekvationer förekommer <math> \, x \, </math> i basen. [[Potenser#Potensekvationer|<b><span style="color:blue">Potensekvationer</span></b>]] av typ <math> \, x^a\, = b \, </math> löses genom rotdragning.
+
Se förra avsnitt om [[4.1 Repetition: Potenser#Potensekvationer|<b><span style="color:blue">Potensekvationer</span></b>]].
−
</big>
+
</big></big>
  
  
Rad 120: Rad 79:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2023 <b><span style="color:blue">Lieta AB</span></b>. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 28 april 2024 kl. 10.55

        <<   Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


Exponentialfunktioner är funktioner som har sin oberoende variabel \( \, x \, \) i exponenten.


Expfkt 800.jpg

Om log se nästa avsnitt: 10-logaritmer.


Exponentialekvationer

Själva operationen \( a\,^x\, \) dvs att ta \( a \) upphöjt till \( x \) kallas för exponentiering och är en ny räkneoperation.

Anta att \( \, x \, \) är en okänd variabel och \( \, b\, \) och \( \, c \, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .

Exponentialfunktioner av typ \( \, y \, = \, c \cdot a\,^{\color{Red} x} \, \) ger upphov till en ny typ av ekvationer:

Ekvationer av typ \( \, a\,^{\color{Red} x} = b \, \) kallas för exponentialekvationer
\( \quad \), i exemplet ovan: \( \; 1,07\,^{\color{Red} x} \,= \, 2 \, \).


Variabeln \( \, x\, \) i exponenten

I både exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer obekanten \( \, {\color{Red} x}\, \) i exponenten.

Exponentialekvationer löses genom logaritmering

som är exponentieringens inversa operation.

Se de kommande avsnitten: 10-logaritmer och Logaritmlagarna ....


Variabeln \( \, x\, \) i basen

OBS!     Till skillnad från exponentialekvationer förekommer i potensekvationer av typ \( \, x\,^a\, = b \, \) obekanten \( \, x \, \) i basen.

För deras lösning används en annan operation:

Potensekvationer av typ \( \, {\color{Red} x}\,^a\, = b \, \) löses genom rotdragning.


Se förra avsnitt om Potensekvationer.




Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=rYHdUrKqxaU

http://goto.glocalnet.net/larsthomee/logaritm.html

http://www.kck.amal.se/webtutor/ovel/mattec/Funktioner/F3.html

http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer





Copyright © 2023 Lieta AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://kurser.mathonline.se/index.php?title=4.2_Introduktion_till_logaritmer:_Exponentialfunktioner&oldid=13962"