Skillnad mellan versioner av "4.3 10-logaritmer"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
| + | {{Not selected tab|[[3.3 Exponentialfunktioner| << Förra avsnitt]]}} | ||
{{Selected tab|[[3.4 10-logaritmer|Genomgång]]}} | {{Selected tab|[[3.4 10-logaritmer|Genomgång]]}} | ||
{{Not selected tab|[[3.4 Quiz till 10-logaritmer, ver 2|Quiz]]}} | {{Not selected tab|[[3.4 Quiz till 10-logaritmer, ver 2|Quiz]]}} | ||
{{Not selected tab|[[3.4 Övningar till 10-logaritmer|Övningar]]}} | {{Not selected tab|[[3.4 Övningar till 10-logaritmer|Övningar]]}} | ||
{{Not selected tab|[[3.4 Lathund till 10-logaritmer|Lathund]]}} | {{Not selected tab|[[3.4 Lathund till 10-logaritmer|Lathund]]}} | ||
| − | |||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
| Rad 15: | Rad 15: | ||
{{Not selected tab| }} | {{Not selected tab| }} | ||
{{Not selected tab| }} | {{Not selected tab| }} | ||
| − | {{Not selected tab|[[ | + | {{Not selected tab|[[3.5 Logaritmlagarna|Nästa avsnitt >> ]]}} |
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
Versionen från 14 april 2017 kl. 17.02
| << Förra avsnitt | Genomgång | Quiz | Övningar | Lathund |
| Nästa avsnitt >> |
Logaritm är bara ett annat ord för exponent.
Inversegenskapen
Experiment
Ta fram din miniräknare och mata först in \( 10 \) \( \boxed{\text{ ^ }} \) och sedan \( \qquad 2,5 \)
Stäng parentesen och tryck på ENTER. Låt resultatet, något decimaltal, stå i displayen.
Tryck på knappen för \( \, 10\)-logaritmen \( \quad \boxed{\text{LOG}} \quad \) och sedan på knappen \( \quad \boxed{\text{ANS}} \quad \)
som lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall decimaltalet ovan.
Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka \( \, 2,5 \, \) som du matat in i början.
Experimentet har visat:
- \( \lg\,(10^{\,2,5}) \, = \, 2,5 \)
Generellt gäller:
\( 10\)-logaritmen \( \, y \, = \, \lg\,x \, \) är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen \( \, y \, = \, 10\,^x \, \), dvs:
\( \qquad \lg\,(10^{\,{\color{Red} x}}) \, = \, {\color{Red} x} \quad {\rm och\; } \quad 10^{\,\lg{\color{Red} x}} \, = \, {\color{Red} x} \qquad\quad \) I ord: \( \quad \boxed{\text{LOG}} \; \) och \( \; 10 \) \( \boxed{\text{ ^ }} \; \) tar ut varandra .
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först \( 10^{\,x} \) och sedan \( \lg\,x \) eller tvärt om, resultatet blir alltid \( \,x \).
Dvs man återvänder till det värde \( \,x \) man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför \( 10^{\,x} \) och \( \lg\,x \) direkt efter varandra.
Både \( \lg\,(10^{\,x}) \) och \( 10^{\,\lg\,x} \) är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:
Sammansatta funktioner beräknas inifrån: Experimentet ovan var ett exempel på detta. För att få \( \, \lg\,(10^{\,2,5}) \, \), beräknades först \( \, 10^{\,2,5} \) och sedan \( \, \lg\,(10^{\,2,5}) \).
Inversegenskapen löser exponentialekvationer av typ \( \; 10\,^x \, = \, b \; \):
\(\begin{array}{rcll} {\rm Potensform:\qquad\qquad} 10^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\lg} \\ {\color{Red} {\lg}}\,({\color{Red} {10}}^{\,x}) & = & \lg\,68 & {\color{Red} {\lg}} {\rm \;och\;} {\color{Red} {10}}^{\,\cdot} {\rm \;tar\;ut\;varandra\;i\;VL} \\ {\rm Logaritmform:\qquad\qquad} x & = & \lg\,68 & \\ x & = & 1,832508913\ldots & \\ {\rm Kontroll:\qquad} 10^{\,1,832508913} & = & 68 & \end{array}\)
Att lösa ekvationen \( \, 10\,^x = b \, \) innebär att skriva om den från potensformen till logaritmform. Därför:
\( \qquad {\rm Potensformen\quad} 10^{\,x} \, = \, b \qquad\qquad \Longleftrightarrow \qquad\qquad {\rm Logaritformen\quad} x \, = \, \lg\,b \)
Exponentialekvationer av typ \( \quad a\,^x \, = \, b \quad (a = \, {\rm const.} > 0)\)
Om Logaritmlagarna se nästa avsnitt.
Internetlänkar
http://www.youtube.com/watch?v=rYHdUrKqxaU
http://goto.glocalnet.net/larsthomee/logaritm.html
http://www.kck.amal.se/webtutor/ovel/mattec/Funktioner/F3.html
http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer
Copyright © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
