Skillnad mellan versioner av "4.4 Logaritmlagarna & Logaritmer med olika baser"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 122: | Rad 122: | ||
== <b><span style="color:#931136">Exponentialekvationer av typ <math> \quad a\,^x \, = \, b \quad (a = \, {\rm const.} > 0)</math></span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Exponentialekvationer av typ <math> \quad a\,^x \, = \, b \quad (a = \, {\rm const.} > 0)</math></span></b> == | ||
| + | <div class="ovnE"> | ||
| + | Logaritmering och användning av den tredje | ||
| + | |||
| + | logaritmlagen löser denna typ av ekvation: | ||
| + | <div class="exempel"> | ||
| + | <math>\begin{array}{rcll} | ||
| + | 5^{\,{\color{Red} x}} & = & 68 & | \;\; \lg\,(\,\cdot\,) \\ | ||
| + | \lg\,(5^{\,{\color{Red} x}}) & = & \lg\,68 & : \text{3:e logaritm-} \\ | ||
| + | & & & : \; \text{lag på VL} \\ | ||
| + | {\color{Red} x} \cdot \lg\,5 & = & \lg\,68 & | \;\; / \,\lg\,5 \\ | ||
| + | {\color{Red} x} & = & \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} & \\ | ||
| + | {\color{Red} x} & = & 2,6217\ldots & \\ | ||
| + | \end{array}</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Kontroll<span style="color:black">:</span><math> \qquad 5^{\,2,62173\ldots} \, = \, 68 </math> | ||
| + | </div> | ||
| + | I rad 1 logaritmeras ekvationens båda led. | ||
| + | |||
| + | I rad 2➛3 ger den tredje logaritmlagen på VL<span style="color:black">:</span> | ||
| + | |||
| + | <math> \qquad\qquad \lg\,(5^{\,{\color{Red} x}}) = {\color{Red} x} \cdot \lg\,5 </math> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <big>Generellt:</big> | ||
| + | |||
| + | <div class="border-divblue"> | ||
| + | <big>Exponentialekvationen <math> \;\;\; a\,^x \, = \, b </math> | ||
| + | |||
| + | har lösningen<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\;\; x \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} </math> | ||
| + | </big></div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == <b><span style="color:#931136">Logaritmer till godtyckliga baser: Byte till basen <math> \, 10 \, </math></span></b> == | ||
<br> | <br> | ||
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 50px;">[[Image: a_logaritmen_Ny_600a.jpg]]</div> | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 50px;">[[Image: a_logaritmen_Ny_600a.jpg]]</div> | ||
Versionen från 15 april 2017 kl. 16.44
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Lathund | Nästa avsnitt >> |
För enkelhetens skull formulerar vi logaritmlagarna med basen \( \, 10 \, \). Men de gäller även för alla andra baser.
Första logaritmlagen: \( \qquad\qquad\; \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \qquad\qquad \)
Andra logaritmlagen: \( \qquad\qquad\;\; \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \qquad\qquad \)
Tredje logaritmlagen: \( \qquad\qquad\quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \qquad\qquad \)
\( \; A \, \) och \( \, B \, \) ska vara positiva tal dvs \( \neq 0 \) och \( y \) ett godtyckligt rationellt tal.
Detta kommer att visas i logaritmlagarnas bevis.
Bevis av logaritmlagarna
Påstående:
Första logaritmlagen \( \quad \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \)
Bevis:
Vi skriver upp första potenslagen med basen \( \, 10 \, \):
- \[ 10^x \cdot 10^y \; = \; 10^{x+y} \]
Och logaritmerar båda leden med logaritmen till basen \( \, 10 \):
- \[ 10^x \cdot 10^y \; = \; 10^{x+y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \]
- \[ \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg\,(10^{x+y}) \]
Vi tillämpar inversegenskapen på högerledet (\( \,\lg \, \) och \(10 \, \)^ tar ut varandra):
- \[ \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; x \, + \, y \]
Nu tillämpas inversegenskapen baklänges på högerledet (\( x = \lg 10^x \, \) och \( y = \lg 10^y \)):
- \[ \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg 10^x \, + \, \lg 10^y \]
Om vi inför beteckningarna \( A = 10^x\, \) och \( B = 10^y\, \) får vi påståendet:
- \[ \lg (A \cdot B) \; = \; \lg A + \lg B \]
Påstående:
Andra logaritmlagen \( \quad \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \)
Bevis:
Beviset är i sin struktur identiskt med beviset av första logaritmlagen.
Den andra potenslagen skrivs med basen \( \, 10 \, \) och logaritmeras med \( \, \lg \, \):
- \[\begin{align} {10^x \over 10^y} \; & = \; 10^{x-y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \\ \\ \lg {10^x \over 10^y} \; & = \; \lg 10^{x-y} \; = \; x \, - \, y \; = \; \lg 10^x \, - \, \lg 10^y \end{align} \]
I den sista raden tillämpas inversegenskapen fram- och baklänges som i beviset ovan.
Nya beteckningar \( \, A = 10^x\, \) och \( \, B = 10^y\, \) ger påståendet:
- \[ \lg {A \over B} \; = \; \lg A \, - \, \lg B \]
Påstående:
Tredje logaritmlagen \( \quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \)
Bevis:
Den tredje potenslagen skrivs med basen \( \, 10 \, \) och logaritmeras med \( \, \lg \, \):
- \[\begin{align} (10^x)^y \; & = \; 10^{x \cdot y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \\ \\ \lg (10^x)^y \; & = \; \lg 10^{x \cdot y} \; = \; x \cdot y \; = \; \lg 10^x \cdot y \end{align}\]
I den sista raden tillämpas inversegenskapen precis som i bevisen ovan.
Beteckningen \( \, A = 10^x\, \) leder till påståendet:
- \[ \lg A^y \; = \; \lg A \cdot y \; = \; y \cdot \lg A \]
Exponentialekvationer av typ \( \quad a\,^x \, = \, b \quad (a = \, {\rm const.} > 0)\)
Logaritmering och användning av den tredje
logaritmlagen löser denna typ av ekvation:
\(\begin{array}{rcll} 5^{\,{\color{Red} x}} & = & 68 & | \;\; \lg\,(\,\cdot\,) \\ \lg\,(5^{\,{\color{Red} x}}) & = & \lg\,68 & : \text{3:e logaritm-} \\ & & & : \; \text{lag på VL} \\ {\color{Red} x} \cdot \lg\,5 & = & \lg\,68 & | \;\; / \,\lg\,5 \\ {\color{Red} x} & = & \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} & \\ {\color{Red} x} & = & 2,6217\ldots & \\ \end{array}\)
Kontroll:\( \qquad 5^{\,2,62173\ldots} \, = \, 68 \)
I rad 1 logaritmeras ekvationens båda led.
I rad 2➛3 ger den tredje logaritmlagen på VL:
\( \qquad\qquad \lg\,(5^{\,{\color{Red} x}}) = {\color{Red} x} \cdot \lg\,5 \)
Generellt:
Exponentialekvationen \( \;\;\; a\,^x \, = \, b \)
har lösningen: \( \qquad\qquad\;\; x \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} \)
Logaritmer till godtyckliga baser: Byte till basen \( \, 10 \, \)
Internetlänkar
http://www.themathpage.com/aprecalc/logarithms.htm
http://www.intmath.com/exponential-logarithmic-functions/3-logarithm-laws.php
http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer
http://web.kristinehamn.se/skola/brmatematik/ornstedt/MaBreddning-1.5.pdf
Copyright © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
