Skillnad mellan versioner av "4.2 Potenser med rationella exponenter & Potensekvationer"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
 
(3 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.1 Polynom| <<&nbsp;&nbsp;Tillbaka till Polynom]]}}
+
{{Not selected tab|[[4.1_Repetition:_Potenser| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
−
{{Selected tab|[[Potenser|Genomgång]]}}
+
{{Selected tab|[[4.2 Potenser med rationella exponenter & Potensekvationer|Genomgång]]}}
−
{{Not selected tab|[[Quiz till Potenser|Quiz (Matte1b)]]}}
+
{{Not selected tab|[http://beta.mattekollen.se/#/app/section Quiz Mattekollen]}}
−
{{Not selected tab|[[Övningar till Potenser|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[4.1 Övningar till Potenser|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[4.3 Introduktion till logaritmer: Exponentialfunktioner|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Potenser med rationella exponenter</span></b> ==
+
<big>
−
<div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
+
== <small><b><span style="color:#931136">Potenser med rationella exponenter</span></b></small> ==
−
Potenser med exponenter som är [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|<b><span style="color:red">rationella tal</span></b>]] (bråktal) är ett annat sätt att skriva rötter.
+
Här ska vi lägga till [[4.1_Repetition:_Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]] ytterligare tre lagar om potenser med rationella exponenter.
  
−
Därför kan de användas för att beräkna både kvadratrötter och högre rötter.
+
Potenser med rationella exponenter är potenser som har [http://34.248.89.132:1800/index.php?title=1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal <b><span style="color:red">rationella tal</span></b>] (bråktal) i exponenten.
  
−
Följande samband råder mellan potenser med rationella exponenter och rötter:
+
De är bara ett annat sätt att skriva rötter, både kvadratrötter och högre rötter:
  
 
'''Påstående''':
 
'''Påstående''':
Rad 30: Rad 31:
 
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} \; = \; a^{{1 \over 2} + {1 \over 2}} \; = \; a^{2 \over 2} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>
 
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} \; = \; a^{{1 \over 2} + {1 \over 2}} \; = \; a^{2 \over 2} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>
  
−
Å andra sidan är definitionen för kvadratroten ur <math> \, a </math><span style="color:black">:</span>
+
Vi drar kvadratroten ur båda leden och går vidare<span style="color:black">:</span>
  
−
<big><math> \qquad\quad \displaystyle \sqrt{a} \; = \; </math></big> Tal som 2 gånger multiplicerat med sig själv ger <math> \, a </math>.
+
:::<big><math>\begin{array}{rclcl}    a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} & = & a        & \qquad | & \sqrt{\,.\,} \\
 +
                              \sqrt{a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2}} & = & \sqrt{a} &          &              \\
 +
                                                        a^{1 \over 2}  & = & \sqrt{a} & \qquad  &              \\
 +
              \end{array}</math></big>
 +
'''V.s.b.''' &nbsp; ('''V'''ilket '''s'''kulle '''b'''evisas)
  
−
Av raderna ovan följer<span style="color:black">:</span>
+
I följande ska <math> \; n \; </math> vara ett heltal <math> > 0 </math> och <math> \, a \, \neq 0 </math>.
−
 
+
−
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} </math></big>
+
−
 
+
−
 
+
−
I följande ska alltid gälla<span style="color:black">:</span> <math> \quad m, n \, </math> heltal och <math> \, n \, \neq 0 \quad </math>.
+
  
 
'''Påstående''':
 
'''Påstående''':
Rad 55: Rad 55:
 
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>
 
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>
  
−
Å andra sidan är definitionen för 3:e roten ur <math> \, a </math><span style="color:black">:</span>
+
Vi drar 3:e roten ur båda leden och går vidare<span style="color:black">:</span>
 +
:::<big><math>\begin{array}{rclcl}    a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} & = & a        & \qquad | & \sqrt[3]{\,.\,} \\
 +
                            \sqrt[3]{a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3}} & = & \sqrt[3]{a} &          &              \\
 +
                                                                            a^{1 \over 3}  & = & \sqrt[3]{a} & \qquad  &              \\
 +
        \end{array}</math></big>
 +
'''V.s.b.'''
  
−
<big><math> \qquad\quad \displaystyle \sqrt[3]{a} \; = \; </math></big> Tal som 3 gånger multiplicerat med sig själv ger <math> \, a </math>.
+
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet, där <math> \, m \, </math> ska vara ett heltal, <math> \, n \, </math> ett heltal <math> > 0 </math> och <math> \, a \, \neq 0 </math>:
−
 
+
−
Av raderna ovan följer<span style="color:black">:</span>
+
−
 
+
−
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} </math></big>
+
−
 
+
−
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet:
+
  
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
Rad 69: Rad 68:
 
</div> <!-- border-divblue -->
 
</div> <!-- border-divblue -->
  
−
Tabellen över [[Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]] borde kompletteras med dessa lagar för rationella exponenter.
+
Tabellen över [[4.1_Repetition:_Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]] borde kompletteras med dessa lagar för rationella exponenter.
  
−
</div> <!-- tolv6 -->
 
  
−
 
+
== <small><b><span style="color:#931136">Potensekvationer</span></b></small> ==
−
== <b><span style="color:#931136">Potensekvationer</span></b> ==
+
−
<div class="tolv"> <!-- tolv7 -->
+
  
 
Anta i fortsättningen att <math> \, x \, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> .  
 
Anta i fortsättningen att <math> \, x \, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> .  
Rad 89: Rad 85:
 
Rotdragning är ekvivalent (identiskt) med potentiering med rationella exponenter.
 
Rotdragning är ekvivalent (identiskt) med potentiering med rationella exponenter.
  
−
För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:
+
För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen:
 +
 
 +
:::<big><math>\begin{array}{rclcl}    x^3 & = & 8          & \qquad | & \sqrt[3]{\,.\,} \\
 +
                            \sqrt[3]{x^3} & = & \sqrt[3]{8} &          &                \\
 +
                                        x & = & 2          &          &                \\
 +
              \end{array}</math></big>
 +
 
 +
Alternativt kan rötter skrivas som potenser med rationella exponenter:
 +
 
 +
:::<big><math>\begin{array}{rclcl}    x^3 & = & 8            & \qquad | & (\,\cdot\,)^{1 \over 3} \\
 +
                        (x^3)^{1 \over 3} & = & 8^{1 \over 3} &          &                        \\
 +
                    x^{3\cdot{1 \over 3}} & = & 8^{1 \over 3} &          &                        \\
 +
                                      x  & = & 2            &          &                        \\
 +
              \end{array}</math></big>
 +
 
 +
I övergången från den andra till den tredje raden har den 3:e potenslagen använts på vänsterledet.
 +
 
 +
</big>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
  
−
:::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\
 
−
                      \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8}                    \\
 
−
                                  x  & = 2                              \\
 
−
                  \end{align}</math>
 
  
−
Alternativt med potens med rationell exponent:
 
  
−
:::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\
 
−
                  (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3}  \qquad  & | \; \text{3:e potenslagen på VL}  \\
 
−
              x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3}                  \\
 
−
                                  x  & = 2                              \\
 
−
                  \end{align}</math>
 
  
−
De alternativa lösningarna av ekvationen ovan är ett exempel på att rötter alltid kan skrivas som [[Potenser#Potenser_med_rationella_exponenter|<b><span style="color:blue">potenser med rationella exponenter</span></b>]].
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2023 <b><span style="color:blue">Lieta AB</span></b>. All Rights Reserved.
−
</div> <!-- tolv7 -->
+

Nuvarande version från 27 april 2024 kl. 17.26

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Quiz Mattekollen          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


Potenser med rationella exponenter

Här ska vi lägga till Potenslagarna ytterligare tre lagar om potenser med rationella exponenter.

Potenser med rationella exponenter är potenser som har rationella tal (bråktal) i exponenten.

De är bara ett annat sätt att skriva rötter, både kvadratrötter och högre rötter:

Påstående:

Lagen om kvadratroten \( \quad a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} \)

Bevis:

Vi multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 2} \) två gånger med sig själv och använder första potenslagen:

\( \displaystyle a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} \; = \; a^{{1 \over 2} + {1 \over 2}} \; = \; a^{2 \over 2} \; = \; a^1 \; = \; a \)

Vi drar kvadratroten ur båda leden och går vidare:

\(\begin{array}{rclcl} a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} & = & a & \qquad | & \sqrt{\,.\,} \\ \sqrt{a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2}} & = & \sqrt{a} & & \\ a^{1 \over 2} & = & \sqrt{a} & \qquad & \\ \end{array}\)

V.s.b.   (Vilket skulle bevisas)

I följande ska \( \; n \; \) vara ett heltal \( > 0 \) och \( \, a \, \neq 0 \).

Påstående:

Lagen om högre rötter \( \quad a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \)

Bevisidé:

Vi visar påståendet för specialfallet \( \, n=3 \):

Vi multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder första potenslagen:

\( \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \)

Vi drar 3:e roten ur båda leden och går vidare:

\(\begin{array}{rclcl} a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} & = & a & \qquad | & \sqrt[3]{\,.\,} \\ \sqrt[3]{a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3}} & = & \sqrt[3]{a} & & \\ a^{1 \over 3} & = & \sqrt[3]{a} & \qquad & \\ \end{array}\)

V.s.b.

Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet, där \( \, m \, \) ska vara ett heltal, \( \, n \, \) ett heltal \( > 0 \) och \( \, a \, \neq 0 \):

Lagen om rationell exponent \( \quad \displaystyle a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \)

Tabellen över Potenslagarna borde kompletteras med dessa lagar för rationella exponenter.


Potensekvationer

Anta i fortsättningen att \( \, x \, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .

Funktioner av typ \( y = x^3\, \) kallas för potensfunktioner, generellt \( \; y = c \cdot x^b\, \).
Ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) kallas för potensekvationer, generellt \( \; x^b\, = c \).

I potensfunktioner och -ekvationer förekommer \( \, x \, \) i basen.

Potensekvationer löses genom rotdragning.

Rotdragning är ekvivalent (identiskt) med potentiering med rationella exponenter.

För t.ex. potensekvationen \( x^3\, = 8 \) finns det två olika sätt att beskriva lösningen:

\(\begin{array}{rclcl} x^3 & = & 8 & \qquad | & \sqrt[3]{\,.\,} \\ \sqrt[3]{x^3} & = & \sqrt[3]{8} & & \\ x & = & 2 & & \\ \end{array}\)

Alternativt kan rötter skrivas som potenser med rationella exponenter:

\(\begin{array}{rclcl} x^3 & = & 8 & \qquad | & (\,\cdot\,)^{1 \over 3} \\ (x^3)^{1 \over 3} & = & 8^{1 \over 3} & & \\ x^{3\cdot{1 \over 3}} & = & 8^{1 \over 3} & & \\ x & = & 2 & & \\ \end{array}\)

I övergången från den andra till den tredje raden har den 3:e potenslagen använts på vänsterledet.





Copyright © 2023 Lieta AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://kurser.mathonline.se/index.php?title=4.2_Potenser_med_rationella_exponenter_%26_Potensekvationer&oldid=13879"