Skillnad mellan versioner av "4.4 Logaritmlagarna & Logaritmer med olika baser"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
(Skapade sidan med '__NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |   {{Not selected tab|1.4 Talet...')
 
m
 
(173 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|  <<&nbsp;&nbsp; Tillbaka till Talet e]]}}
+
{{Not selected tab|[[4.3 10-logaritmer|  <<&nbsp;&nbsp; Förra avsnitt]]}}
−
{{Selected tab|[[Logaritmlagarna|Genomgång]]}}
+
{{Selected tab|[[4.4 Logaritmlagarna & Logaritmer med olika baser|Genomgång]]}}
−
{{Not selected tab|[[Övningar till Logaritmlagarna|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[http://beta.mattekollen.se/#/app/section Quiz i Mattekollen]}}
−
{{Not selected tab|[[Exponentialfunktioner och logaritmer|Exponentialfunktioner & logaritmer]]}}
+
{{Not selected tab|[[4.4 Övningar till Logaritmlagarna & Logaritmer med olika baser|Övningar]]}}
 +
<!-- {{Not selected tab|[[4.4 Lathund till Logaritmlagarna & Logaritmer med olika baser|Lathund]]}} -->
 +
{{Not selected tab|[[4.5 Användning av logaritmer|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
−
<!-- [[Media: Lektion 11 Logaritmlagar2.pdf|Lektion 11 Logaritmlagarna]] -->
 
  
−
<!-- <big>Logaritmlagarna är ett repeterande underavsnitt i avsnittet [[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|<b><span style="color:blue">Talet e och den naturliga logaritmen</span></b>]].</big>
 
−
 
−
== <b><span style="color:#931136">Logaritmlagarna är [[Potenser#Potenslagarna|potenslagar]] i logaritmform</span></b> ==
 
−
-->
 
  
 
<big>
 
<big>
Rad 21: Rad 18:
  
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
−
<b><span style="color:#931136">Första logaritmlagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\; \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \qquad\qquad </math></big>
+
<b><span style="color:#931136">Första logaritmlagen:</span></b> <big><math> \qquad\; \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \qquad </math></big>
 +
----
 +
<b><span style="color:#931136">Andra logaritmlagen:</span></b> <big><math> \qquad\;\; \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \qquad </math></big>
 
----
 
----
−
<b><span style="color:#931136">Andra logaritmlagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\;\; \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \qquad\qquad </math></big>
+
<b><span style="color:#931136">Tredje logaritmlagen:</span></b> <big><math> \qquad\quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \qquad </math></big>
 
----
 
----
−
<b><span style="color:#931136">Tredje logaritmlagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \qquad\qquad </math></big>
+
 
−
</div> <!-- border-divblue -->
+
 
 +
<big><math> A </math>, <math> \, B \, > \, 0 \, </math></big> och <big><math> \, y \, </math></big> ett godtyckligt rationellt tal.
 +
</div>
  
  
 
<big>
 
<big>
−
<math> \; A \, </math> och <math> \, B \, </math> ska vara positiva tal dvs <math> \neq 0 </math> och <math> y </math> ett godtyckligt rationellt tal.
+
<div class="border-divblue">
  
 +
Logaritmlagarna är [[3.1 Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">potenslagarna</span></b>]] i logaritmform.
  
−
<div class="border-divblue">Logaritmlagarna är potenslagar i logaritmform. Man får dem genom att logaritmera [[Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">potenslagarna</span></b>]].</div>
+
Man får dem genom att logaritmera potenslagarna.
 +
</div>
  
  
−
Detta kommer att visas i logaritmlagarnas bevis.
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Detta kommer att visas i logaritmlagarnas bevis som följer:
 
</big>
 
</big>
  
Rad 46: Rad 49:
  
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
−
===== <b><span style="color:#931136">Första logaritmlagen</span></b> <math> \quad \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B </math> =====
+
<b><span style="color:#931136">Första logaritmlagen</span></b> <math> \quad \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B </math>
−
</div> <!-- border-divblue -->
+
</div>
  
 
'''Bevis''':
 
'''Bevis''':
Rad 55: Rad 58:
 
:::::<math> 10^x \cdot 10^y \; = \; 10^{x+y} </math>
 
:::::<math> 10^x \cdot 10^y \; = \; 10^{x+y} </math>
  
−
Och logaritmerar båda leden med logaritmen till basen <math> \, 10 </math><span style="color:black">:</span>
+
Nu logaritmerar vi båda leden med <math> \, 10</math>-logaritmen<span style="color:black">:</span>
  
 
:::::<math> 10^x \cdot 10^y \; = \; 10^{x+y} \qquad  \,| \;  \lg\,(\;\;) </math>
 
:::::<math> 10^x \cdot 10^y \; = \; 10^{x+y} \qquad  \,| \;  \lg\,(\;\;) </math>
  
−
:::<math> \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg\,(10^{x+y}) </math>
+
:::<math> \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg\,(10^{x+y}) </math>
  
−
Vi tillämpar [[Exponentialfunktioner_och_logaritmer#Inversegenskapen|<b><span style="color:blue">inversegenskapen</span></b>]] på högerledet (<math> \,\lg \, </math> och <math>10 \, </math><span style="color:black">''^''</span>&nbsp; tar ut varandra)<span style="color:black">:</span>
+
Vi tillämpar [[3.4_10-logaritmer#Inversegenskapen|<b><span style="color:blue">inversegenskapen</span></b>]] på högerledet dvs <math> \lg\,(10^{x+y}) = x+y \, </math><span style="color:black">:</span>
  
−
:::<math> \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; x \, + \, y </math>
+
:::<math> \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; x \, + \, y </math>
  
−
Nu tillämpas [[Exponentialfunktioner_och_logaritmer#Inversegenskapen|<b><span style="color:blue">inversegenskapen</span></b>]] baklänges på högerledet (<math> x = \lg 10^x \, </math> och <math> y = \lg 10^y </math>)<span style="color:black">:</span>
+
[[3.4_10-logaritmer#Inversegenskapen|<b><span style="color:blue">Inversegenskapen</span></b>]] tillämpas baklänges på högerledet (<math> x = \lg 10^x \, </math> och <math> y = \lg 10^y </math>)<span style="color:black">:</span>
  
−
:::<math> \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg 10^x \, + \, \lg 10^y </math>
+
:::<math> \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg 10^x \, + \, \lg 10^y </math>
  
−
Om vi inför beteckningarna <math> A = 10^x\, </math> och <math> B = 10^y\, </math> får vi påståendet<span style="color:black">:</span>
+
Om vi inför beteckningarna <div class="border-divblue8"><math> \, A = 10^x\, </math></div> och <div class="border-divblue8"><math> \, B = 10^y\, </math></div> får vi påståendet<span style="color:black">:</span>
  
−
:::<math> \lg (A \cdot B) \; = \; \lg A + \lg B </math>
+
:::<math> \qquad\;\; \lg (A \cdot B) \; = \; \lg A + \lg B </math>
 
</div>
 
</div>
  
Rad 79: Rad 82:
  
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
−
===== <b><span style="color:#931136">Andra logaritmlagen</span></b> <math> \quad \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B </math> =====
+
<b><span style="color:#931136">Andra logaritmlagen</span></b> <math> \quad \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B </math>
−
</div> <!-- border-divblue -->
+
</div>
  
 
'''Bevis''':
 
'''Bevis''':
Rad 95: Rad 98:
 
I den sista raden tillämpas inversegenskapen fram- och baklänges som i beviset ovan.
 
I den sista raden tillämpas inversegenskapen fram- och baklänges som i beviset ovan.
  
−
Nya beteckningar <math> \, A = 10^x\, </math> och <math> \, B = 10^y\, </math> ger påståendet<span style="color:black">:</span>
+
Nya beteckningar <div class="border-divblue8"><math> \, A = 10^x\, </math></div> och <div class="border-divblue8"><math> \, B = 10^y\, </math></div> ger påståendet<span style="color:black">:</span>
  
−
:::<math> \lg {A \over B} \; = \; \lg A \, - \, \lg B </math>
+
:::<math> \qquad \lg {A \over B} \; = \; \lg A \, - \, \lg B </math>
 
</div>
 
</div>
  
Rad 105: Rad 108:
  
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
−
===== <b><span style="color:#931136">Tredje logaritmlagen</span></b> <math> \quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A </math> =====
+
<b><span style="color:#931136">Tredje logaritmlagen</span></b> <math> \quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A </math>
−
</div> <!-- border-divblue -->
+
</div>
  
 
'''Bevis''':
 
'''Bevis''':
Rad 119: Rad 122:
 
I den sista raden tillämpas inversegenskapen precis som i bevisen ovan.
 
I den sista raden tillämpas inversegenskapen precis som i bevisen ovan.
  
−
Beteckningen <math> \, A = 10^x\, </math> leder till påståendet<span style="color:black">:</span>
+
Beteckningen <div class="border-divblue8"><math> \, A = 10^x\, </math></div> leder till påståendet<span style="color:black">:</span>
  
−
:::<math> \lg A^y \; = \; \lg A \cdot y \; = \; y \cdot \lg A </math>
+
:::<math> \qquad\quad \lg A^y \; = \; \lg A \cdot y \; = \; y \cdot \lg A </math>
 
</div>
 
</div>
 +
 +
 +
= <b><span style="color:#931136">Exponentialekvationer av typ <math> \quad a\,^x \, = \, b </math></span></b> =
 +
<div class="border-divblue">
 +
<big><b><span style="color:red">Exponentialekvationen</span></b> <math> \quad a\,^x \, = \, b </math>
 +
 +
har lösningen<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\;\;\; x \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} \;\;</math>
 +
 +
<math> \; (a = \, {\rm const.} \, > \, 0) </math>
 +
</big></div>
 +
 +
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> ==
 +
<div class="border-divblue">
 +
Logaritmering och användning av den tredje
 +
 +
logaritmlagen löser denna typ av ekvation:
 +
<div class="exempel">
 +
<math>\begin{array}{rcll}
 +
                          5^{\,{\color{Red} x}} & = & 68                                  & | \;\; \lg\,(\,\cdot\,)  \\
 +
                  \lg\,(5^{\,{\color{Red} x}}) & = & \lg\,68                              & : \text{3:e logaritm-}  \\
 +
                                                &  &                                      & : \; \text{lag på VL}    \\
 +
                  {\color{Red} x} \cdot \lg\,5 & = & \lg\,68                              & | \;\; / \,\lg\,5        \\
 +
                                {\color{Red} x} & = & \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} &                          \\
 +
                                {\color{Red} x} & = & 2,62173\ldots                        &                          \\
 +
      \end{array}</math>
 +
 +
 +
Kontroll<span style="color:black">:</span><math> \qquad 5^{\,2,62173\ldots} \, = \, 68 </math>
 +
</div>
 +
I rad 1 logaritmeras ekvationens båda led.
 +
 +
I rad 2&#x279b;3 ger den tredje logaritmlagen på VL<span style="color:black">:</span>
 +
 +
<math> \qquad\qquad \lg\,(5^{\,{\color{Red} x}}) = {\color{Red} x} \cdot \lg\,5 </math>
 +
</div>
 +
 +
 +
= <b><span style="color:#931136">Logaritmer med olika baser: Byte av bas</span></b> =
 +
<br>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
<td>
 +
<div class="ovnE">
 +
<big><b><span style="color:#931136"><math>\log_{\,5}\,25 \, </math></span></b> = &nbsp; tal som basen <math>5</math> ska upp-
 +
 +
<math> \qquad\qquad\;\; </math> höjas till, för att ge <math>25</math>.
 +
 +
Det talet är <math> \; {\color{Red} 2} \, </math>, därför att:
 +
 +
----
 +
 +
Potensformen<span style="color:black">:</span> <math> \quad 5\,^{\color{Red} 2} \; = \; 25 </math>
 +
 +
<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\;\, \Updownarrow </math>
 +
 +
Logaritmformen<span style="color:black">:</span> <math> \quad {\color{Red} 2} \; = \; </math> <b><span style="color:#931136"><math> \log_{\,5}\,25 </math></span></b>
 +
 +
----
 +
 +
Läs: <b><span style="color:#931136">Logaritmen till basen <math> \, 5 \, </math> för <math> \, 25 \, </math></span></b>.
 +
 +
----
 +
 +
Logaritmen till basen <math> \, 5 \, </math> finns inte i räknaren.
 +
 +
----
 +
 +
I räknaren finns logaritmer till endast två baser<span style="color:black">:</span>
 +
 +
<math>10</math>-logaritmen och logaritmen till basen <math>e</math> (LN).
 +
</big></div>
 +
</td>
 +
<td> <math> \quad </math> </td>
 +
<td><div class="ovnC">
 +
<big><b><span style="color:#931136"><math>\log_{\,5}\,68 \, </math></span></b> = &nbsp; tal som basen <math>5</math> ska upp-
 +
 +
<math> \qquad\qquad\;\; </math> höjas till, för att ge <math>68</math>.
 +
 +
Om vi kallar det talet för <math> \; {\color{Red} x} \, </math>, vet vi:
 +
 +
----
 +
 +
Potensformen<span style="color:black">:</span> <math> \quad 5\,^{\color{Red} x} \; = \; 68 </math>
 +
 +
<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\;\, \Updownarrow </math>
 +
 +
Logaritmformen<span style="color:black">:</span> <math> \quad {\color{Red} x} \; = \; </math> <b><span style="color:#931136"><math> \log_{\,5}\,68  \; = \; {\color{Red} ?} </math></span></b>
 +
 +
----
 +
 +
Men: &nbsp; Potensformen <math>=</math> <span style="color:red">Exponentialekvationen</span>
 +
 +
med lösningen <math> \; {\color{Red} x} \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} \, = \, </math> <small><math> 2,62173\ldots</math></small>
 +
----
 +
 +
Dvs <math> \; {\color{Red} x} \, = \, </math> <b><span style="color:#931136"><math> \log_{\,5}\,68 </math> </span></b> <math> \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} \, = \, </math> <small><math> 2,62173\ldots</math></small>
 +
</big></div>
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
 +
 +
<big><big>
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Kontroll: <b><span style="color:#931136"><math> \quad \log_{\,5}\,25 </math></span></b> <math> \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,25}{\lg\,5} \, = \, {\color{Red} 2} </math>
 +
</big></big>
 +
 +
 +
<big>Generellt:</big>
 +
 +
<table>
 +
<tr>
 +
<td>
 +
<div class="border-divblue">
 +
<big>
 +
Potensformen<span style="color:black">:</span> <math> \quad\; a\,^{\color{Red} x} \, = \, b </math>
 +
 +
<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\;\; \Updownarrow </math>
 +
 +
Logaritmformen<span style="color:black">:</span> <math> \quad {\color{Red} x} \; = \; </math> <b><span style="color:#931136"><math> \log_{\,a}\,b </math> </span></b> <math> \; = \; \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} </math>
 +
</big></div>
 +
</td>
 +
<td> <math> \quad </math> </td>
 +
<td>
 +
<div class="border-divblue">
 +
<big>
 +
<span style="color:#931136">Logaritmen till basen <math> \, a \, </math> för <math> \, b \, </math></span> kan om-
 +
 +
vandlas till <math> \, 10</math>-logaritmer (Byte av bas)<span style="color:black">:</span>&nbsp;&nbsp;
 +
 +
<math> \qquad\quad\;\;\; {\color{#931136} {\log_{\,a} \, b}} \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} </math>
 +
</big></div>
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
  
Rad 149: Rad 287:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2023 <b><span style="color:blue">Lieta AB</span></b>. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 28 april 2024 kl. 12.31

        <<   Förra avsnitt          Genomgång          Quiz i Mattekollen          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


För enkelhetens skull formulerar vi logaritmlagarna med basen \( \, 10 \, \). Men de gäller även för alla andra baser.


Första logaritmlagen: \( \qquad\; \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \qquad \)

Andra logaritmlagen: \( \qquad\;\; \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \qquad \)

Tredje logaritmlagen: \( \qquad\quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \qquad \)


\( A \), \( \, B \, > \, 0 \, \) och \( \, y \, \) ett godtyckligt rationellt tal.


Logaritmlagarna är potenslagarna i logaritmform.

Man får dem genom att logaritmera potenslagarna.


         Detta kommer att visas i logaritmlagarnas bevis som följer:


Bevis av logaritmlagarna


Påstående:

Första logaritmlagen \( \quad \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \)

Bevis:

Vi skriver upp första potenslagen med basen \( \, 10 \, \):

\[ 10^x \cdot 10^y \; = \; 10^{x+y} \]

Nu logaritmerar vi båda leden med \( \, 10\)-logaritmen:

\[ 10^x \cdot 10^y \; = \; 10^{x+y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \]
\[ \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg\,(10^{x+y}) \]

Vi tillämpar inversegenskapen på högerledet dvs \( \lg\,(10^{x+y}) = x+y \, \):

\[ \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; x \, + \, y \]

Inversegenskapen tillämpas baklänges på högerledet (\( x = \lg 10^x \, \) och \( y = \lg 10^y \)):

\[ \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg 10^x \, + \, \lg 10^y \]
Om vi inför beteckningarna
\( \, A = 10^x\, \)
och
\( \, B = 10^y\, \)
får vi påståendet:
\[ \qquad\;\; \lg (A \cdot B) \; = \; \lg A + \lg B \]


Påstående:

Andra logaritmlagen \( \quad \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \)

Bevis:

Beviset är i sin struktur identiskt med beviset av första logaritmlagen.

Den andra potenslagen skrivs med basen \( \, 10 \, \) och logaritmeras med \( \, \lg \, \):

\[\begin{align} {10^x \over 10^y} \; & = \; 10^{x-y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \\ \\ \lg {10^x \over 10^y} \; & = \; \lg 10^{x-y} \; = \; x \, - \, y \; = \; \lg 10^x \, - \, \lg 10^y \end{align} \]

I den sista raden tillämpas inversegenskapen fram- och baklänges som i beviset ovan.

Nya beteckningar
\( \, A = 10^x\, \)
och
\( \, B = 10^y\, \)
ger påståendet:
\[ \qquad \lg {A \over B} \; = \; \lg A \, - \, \lg B \]


Påstående:

Tredje logaritmlagen \( \quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \)

Bevis:

Den tredje potenslagen skrivs med basen \( \, 10 \, \) och logaritmeras med \( \, \lg \, \):

\[\begin{align} (10^x)^y \; & = \; 10^{x \cdot y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \\ \\ \lg (10^x)^y \; & = \; \lg 10^{x \cdot y} \; = \; x \cdot y \; = \; \lg 10^x \cdot y \end{align}\]

I den sista raden tillämpas inversegenskapen precis som i bevisen ovan.

Beteckningen
\( \, A = 10^x\, \)
leder till påståendet:
\[ \qquad\quad \lg A^y \; = \; \lg A \cdot y \; = \; y \cdot \lg A \]


Exponentialekvationer av typ \( \quad a\,^x \, = \, b \)

Exponentialekvationen \( \quad a\,^x \, = \, b \)

har lösningen: \( \qquad\qquad\;\;\; x \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} \;\;\)

\( \; (a = \, {\rm const.} \, > \, 0) \)


Exempel

Logaritmering och användning av den tredje

logaritmlagen löser denna typ av ekvation:

\(\begin{array}{rcll} 5^{\,{\color{Red} x}} & = & 68 & | \;\; \lg\,(\,\cdot\,) \\ \lg\,(5^{\,{\color{Red} x}}) & = & \lg\,68 & : \text{3:e logaritm-} \\ & & & : \; \text{lag på VL} \\ {\color{Red} x} \cdot \lg\,5 & = & \lg\,68 & | \;\; / \,\lg\,5 \\ {\color{Red} x} & = & \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} & \\ {\color{Red} x} & = & 2,62173\ldots & \\ \end{array}\)


Kontroll:\( \qquad 5^{\,2,62173\ldots} \, = \, 68 \)

I rad 1 logaritmeras ekvationens båda led.

I rad 2➛3 ger den tredje logaritmlagen på VL:

\( \qquad\qquad \lg\,(5^{\,{\color{Red} x}}) = {\color{Red} x} \cdot \lg\,5 \)


Logaritmer med olika baser: Byte av bas


\(\log_{\,5}\,25 \, \) =   tal som basen \(5\) ska upp-

\( \qquad\qquad\;\; \) höjas till, för att ge \(25\).

Det talet är \( \; {\color{Red} 2} \, \), därför att:

Potensformen: \( \quad 5\,^{\color{Red} 2} \; = \; 25 \)

\( \qquad\qquad\qquad\qquad\;\, \Updownarrow \)

Logaritmformen: \( \quad {\color{Red} 2} \; = \; \) \( \log_{\,5}\,25 \)

Läs: Logaritmen till basen \( \, 5 \, \) för \( \, 25 \, \).

Logaritmen till basen \( \, 5 \, \) finns inte i räknaren.

I räknaren finns logaritmer till endast två baser:

\(10\)-logaritmen och logaritmen till basen \(e\) (LN).

\( \quad \)

\(\log_{\,5}\,68 \, \) =   tal som basen \(5\) ska upp-

\( \qquad\qquad\;\; \) höjas till, för att ge \(68\).

Om vi kallar det talet för \( \; {\color{Red} x} \, \), vet vi:

Potensformen: \( \quad 5\,^{\color{Red} x} \; = \; 68 \)

\( \qquad\qquad\qquad\qquad\;\, \Updownarrow \)

Logaritmformen: \( \quad {\color{Red} x} \; = \; \) \( \log_{\,5}\,68 \; = \; {\color{Red} ?} \)

Men:   Potensformen \(=\) Exponentialekvationen

med lösningen \( \; {\color{Red} x} \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} \, = \, \) \( 2,62173\ldots\)

Dvs \( \; {\color{Red} x} \, = \, \) \( \log_{\,5}\,68 \) \( \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} \, = \, \) \( 2,62173\ldots\)


         Kontroll: \( \quad \log_{\,5}\,25 \) \( \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,25}{\lg\,5} \, = \, {\color{Red} 2} \)


Generellt:

Potensformen: \( \quad\; a\,^{\color{Red} x} \, = \, b \)

\( \qquad\qquad\qquad\qquad\;\; \Updownarrow \)

Logaritmformen: \( \quad {\color{Red} x} \; = \; \) \( \log_{\,a}\,b \) \( \; = \; \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} \)

\( \quad \)

Logaritmen till basen \( \, a \, \) för \( \, b \, \) kan om-

vandlas till \( \, 10\)-logaritmer (Byte av bas):  

\( \qquad\quad\;\;\; {\color{#931136} {\log_{\,a} \, b}} \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} \)




Internetlänkar

http://www.themathpage.com/aprecalc/logarithms.htm

http://www.intmath.com/exponential-logarithmic-functions/3-logarithm-laws.php

http://math.asu.edu/fym/Courses/mat117_web/exponential_and_logarithmic_functions_notes/laws-of-logarithms/Laws_of_Logarithmic_Functions.html

http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer

http://web.kristinehamn.se/skola/brmatematik/ornstedt/MaBreddning-1.5.pdf





Copyright © 2023 Lieta AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://kurser.mathonline.se/index.php?title=4.4_Logaritmlagarna_%26_Logaritmer_med_olika_baser&oldid=13977"