Skillnad mellan versioner av "4.2 Potenser med rationella exponenter & Potensekvationer"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.1 Polynom| <<&nbsp;&nbsp;Tillbaka till Polynom]]}}
+
{{Not selected tab|[[4.1 Potenser| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
−
{{Selected tab|[[Potenser|Genomgång]]}}
+
{{Selected tab|[[4.2 Potenser med rationella exponenter & Potensekvationer|Genomgång]]}}
−
{{Not selected tab|[[Quiz till Potenser|Quiz (Matte1b)]]}}
+
{{Not selected tab|[[Quiz till Potenser|Quiz]]}}
 
{{Not selected tab|[[Övningar till Potenser|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[Övningar till Potenser|Övningar]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
Rad 10: Rad 10:
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Potenser med rationella exponenter</span></b> ==
+
<big>
−
<div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
+
== <small><b><span style="color:#931136">Potenser med rationella exponenter</span></b></small> ==
−
Potenser med exponenter som är [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|<b><span style="color:red">rationella tal</span></b>]] (bråktal) är ett annat sätt att skriva rötter.
+
Här ska vi lägga till [[4.1 Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]] ytterligare tre lagar om potenser med rationella exponenter.
  
−
Därför kan de användas för att beräkna både kvadratrötter och högre rötter.
+
Potenser med rationella exponenter är potenser som har [http://34.248.89.132:1800/index.php?title=1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal <b><span style="color:red">rationella tal</span></b>] (bråktal) i exponenten.
  
−
Följande samband råder mellan potenser med rationella exponenter och rötter:
+
De är bara ett annat sätt att skriva rötter, både kvadratrötter och högre rötter:
  
 
'''Påstående''':
 
'''Påstående''':
Rad 30: Rad 30:
 
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} \; = \; a^{{1 \over 2} + {1 \over 2}} \; = \; a^{2 \over 2} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>
 
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} \; = \; a^{{1 \over 2} + {1 \over 2}} \; = \; a^{2 \over 2} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>
  
−
Å andra sidan är definitionen för kvadratroten ur <math> \, a </math><span style="color:black">:</span>
+
Vi drar kvadratroten ur båda leden och går vidare<span style="color:black">:</span>
  
−
<big><math> \qquad\quad \displaystyle \sqrt{a} \; = \; </math></big> Tal som 2 gånger multiplicerat med sig själv ger <math> \, a </math>.
+
:::<big><math>\begin{array}{rclcl}    a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} & = & a        & \qquad | & \sqrt{\,.\,} \\
 +
                              \sqrt{a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2}} & = & \sqrt{a} &          &              \\
 +
                                                        a^{1 \over 2}  & = & \sqrt{a} & \qquad  &              \\
 +
              \end{array}</math></big>
 +
'''V.s.b.''' &nbsp; ('''V'''ilket '''s'''kulle '''b'''evisas)
  
−
Av raderna ovan följer<span style="color:black">:</span>
+
I följande ska <math> \; n \; </math> vara ett heltal <math> > 0 </math> och <math> \, a \, \neq 0 </math>.
−
 
+
−
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} </math></big>
+
−
 
+
−
 
+
−
I följande ska alltid gälla<span style="color:black">:</span> <math> \quad m, n \, </math> heltal och <math> \, n \, \neq 0 \quad </math>.
+
  
 
'''Påstående''':
 
'''Påstående''':
Rad 55: Rad 54:
 
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>
 
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>
  
−
Å andra sidan är definitionen för 3:e roten ur <math> \, a </math><span style="color:black">:</span>
+
Vi drar 3:e roten ur båda leden och går vidare<span style="color:black">:</span>
 +
:::<big><math>\begin{array}{rclcl}    a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} & = & a        & \qquad | & \sqrt[3]{\,.\,} \\
 +
                            \sqrt[3]{a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3}} & = & \sqrt[3]{a} &          &              \\
 +
                                                                            a^{1 \over 3}  & = & \sqrt[3]{a} & \qquad  &              \\
 +
        \end{array}</math></big>
 +
'''V.s.b.'''
  
−
<big><math> \qquad\quad \displaystyle \sqrt[3]{a} \; = \; </math></big> Tal som 3 gånger multiplicerat med sig själv ger <math> \, a </math>.
+
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet, där <math> \, m \, </math> ska vara ett heltal, <math> \, n \, </math> ett heltal <math> > 0 </math> och <math> \, a \, \neq 0 </math>:
−
 
+
−
Av raderna ovan följer<span style="color:black">:</span>
+
−
 
+
−
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} </math></big>
+
−
 
+
−
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet:
+
  
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
Rad 69: Rad 67:
 
</div> <!-- border-divblue -->
 
</div> <!-- border-divblue -->
  
−
Tabellen över [[Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]] borde kompletteras med dessa lagar för rationella exponenter.
+
Tabellen över [[4.1 Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]] borde kompletteras med dessa lagar för rationella exponenter.
  
−
</div> <!-- tolv6 -->
 
  
−
 
+
== <small><b><span style="color:#931136">Potensekvationer</span></b></small> ==
−
== <b><span style="color:#931136">Potensekvationer</span></b> ==
+
−
<div class="tolv"> <!-- tolv7 -->
+
  
 
Anta i fortsättningen att <math> \, x \, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> .  
 
Anta i fortsättningen att <math> \, x \, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> .  
Rad 89: Rad 84:
 
Rotdragning är ekvivalent (identiskt) med potentiering med rationella exponenter.
 
Rotdragning är ekvivalent (identiskt) med potentiering med rationella exponenter.
  
−
För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:
+
För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen:
 +
 
 +
:::<big><math>\begin{array}{rclcl}    x^3 & = & 8          & \qquad | & \sqrt[3]{\,.\,} \\
 +
                            \sqrt[3]{x^3} & = & \sqrt[3]{8} &          &                \\
 +
                                        x & = & 2          &          &                \\
 +
              \end{array}</math></big>
 +
 
 +
Alternativt kan rötter skrivas som potenser med rationella exponenter:
 +
 
 +
:::<big><math>\begin{array}{rclcl}    x^3 & = & 8            & \qquad | & (\,\cdot\,)^{1 \over 3} \\
 +
                        (x^3)^{1 \over 3} & = & 8^{1 \over 3} &          &                        \\
 +
                    x^{3\cdot{1 \over 3}} & = & 8^{1 \over 3} &          &                        \\
 +
                                      x  & = & 2            &          &                        \\
 +
              \end{array}</math></big>
 +
 
 +
I övergången från den andra till den tredje raden har den 3:e potenslagen använts på vänsterledet.
 +
 
 +
</big>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
  
−
:::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\
 
−
                      \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8}                    \\
 
−
                                  x  & = 2                              \\
 
−
                  \end{align}</math>
 
  
−
Alternativt med potens med rationell exponent:
 
  
−
:::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\
 
−
                  (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3}  \qquad  & | \; \text{3:e potenslagen på VL}  \\
 
−
              x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3}                  \\
 
−
                                  x  & = 2                              \\
 
−
                  \end{align}</math>
 
  
−
De alternativa lösningarna av ekvationen ovan är ett exempel på att rötter alltid kan skrivas som [[Potenser#Potenser_med_rationella_exponenter|<b><span style="color:blue">potenser med rationella exponenter</span></b>]].
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2017 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
−
</div> <!-- tolv7 -->
+

Versionen från 14 januari 2018 kl. 15.07

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Quiz          Övningar      


Potenser med rationella exponenter

Här ska vi lägga till Potenslagarna ytterligare tre lagar om potenser med rationella exponenter.

Potenser med rationella exponenter är potenser som har rationella tal (bråktal) i exponenten.

De är bara ett annat sätt att skriva rötter, både kvadratrötter och högre rötter:

Påstående:

Lagen om kvadratroten \( \quad a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} \)

Bevis:

Vi multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 2} \) två gånger med sig själv och använder första potenslagen:

\( \displaystyle a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} \; = \; a^{{1 \over 2} + {1 \over 2}} \; = \; a^{2 \over 2} \; = \; a^1 \; = \; a \)

Vi drar kvadratroten ur båda leden och går vidare:

\(\begin{array}{rclcl} a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} & = & a & \qquad | & \sqrt{\,.\,} \\ \sqrt{a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2}} & = & \sqrt{a} & & \\ a^{1 \over 2} & = & \sqrt{a} & \qquad & \\ \end{array}\)

V.s.b.   (Vilket skulle bevisas)

I följande ska \( \; n \; \) vara ett heltal \( > 0 \) och \( \, a \, \neq 0 \).

Påstående:

Lagen om högre rötter \( \quad a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \)

Bevisidé:

Vi visar påståendet för specialfallet \( \, n=3 \):

Vi multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder första potenslagen:

\( \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \)

Vi drar 3:e roten ur båda leden och går vidare:

\(\begin{array}{rclcl} a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} & = & a & \qquad | & \sqrt[3]{\,.\,} \\ \sqrt[3]{a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3}} & = & \sqrt[3]{a} & & \\ a^{1 \over 3} & = & \sqrt[3]{a} & \qquad & \\ \end{array}\)

V.s.b.

Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet, där \( \, m \, \) ska vara ett heltal, \( \, n \, \) ett heltal \( > 0 \) och \( \, a \, \neq 0 \):

Lagen om rationell exponent \( \quad \displaystyle a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \)

Tabellen över Potenslagarna borde kompletteras med dessa lagar för rationella exponenter.


Potensekvationer

Anta i fortsättningen att \( \, x \, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .

Funktioner av typ \( y = x^3\, \) kallas för potensfunktioner, generellt \( \; y = c \cdot x^b\, \).
Ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) kallas för potensekvationer, generellt \( \; x^b\, = c \).

I potensfunktioner och -ekvationer förekommer \( \, x \, \) i basen.

Potensekvationer löses genom rotdragning.

Rotdragning är ekvivalent (identiskt) med potentiering med rationella exponenter.

För t.ex. potensekvationen \( x^3\, = 8 \) finns det två olika sätt att beskriva lösningen:

\(\begin{array}{rclcl} x^3 & = & 8 & \qquad | & \sqrt[3]{\,.\,} \\ \sqrt[3]{x^3} & = & \sqrt[3]{8} & & \\ x & = & 2 & & \\ \end{array}\)

Alternativt kan rötter skrivas som potenser med rationella exponenter:

\(\begin{array}{rclcl} x^3 & = & 8 & \qquad | & (\,\cdot\,)^{1 \over 3} \\ (x^3)^{1 \over 3} & = & 8^{1 \over 3} & & \\ x^{3\cdot{1 \over 3}} & = & 8^{1 \over 3} & & \\ x & = & 2 & & \\ \end{array}\)

I övergången från den andra till den tredje raden har den 3:e potenslagen använts på vänsterledet.





Copyright © 2010-2017 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://kurser.mathonline.se/index.php?title=4.2_Potenser_med_rationella_exponenter_%26_Potensekvationer&oldid=1087"