Versionen från 3 april 2024 kl. 14.31

Genomgång

Övningar

Begreppsförklaringar

Definition återger ett begrepps betydelse och ger svar på frågan: "Vad är ... ?".

Ex.:

1. Ekvation är en likhet mellan två algebraiska uttryck med en obekant, t.ex. \(3 + x = 2\,x\).

2. Funktion är ett samband mellan två variabler, t.ex. \(y = 4\,x - 5\).

En definition är ett verktyg i kommunikationen, ofta förutsättningen för en meningsfull kommunikation.

En definition är en överenskommelse mellan begreppets användare.

Därför är definitioner i princip godtyckliga och kan inte bevisas.

"Ett begrepp kan definieras meningsfullt, först när det används i en konkret situation" (Wittgenstein).

Samtidigt ska en definition helst vara generell, dvs passa till alla situationer.

Sats är en utsaga eller ett påstående som är sant eller falskt.

Ex.:

1. Vinkelsumman i en triangel är 180 grader.

2. Om en triangel med sidorna a, b, c är rätvinklig, så gäller \( a^2 + b^2 = c^2 \).

3. Om det gäller \( a^2 + b^2 = c^2 \) för en triangel med sidorna a, b, c, så är triangeln rätvinklig.

Satser kan bevisas (verifieras) eller motbevisas (falsifieras).

Det finns matematiska satser som inte har bevisats hittills. Man antar att de är sanna, så länge de inte motbevisats.

Det finns självklara matematiska satser som inte behöver bevisas. De kallas för axiom. Ex.:

Parallella räta linjer skär aldrig varandra. Eller: Genom två punkter går exakt en rät linje.

Bevis är en följd av matematiska resonemang som genom logiska slutsatser leder till verifieringen av en sats.

Ex.: Se beviset för Pythagoras sats.

I ett bevis används ofta satser som redan bevisats tidigare.

Bevis måste vara generella, dvs satsen måste gälla i alla tänkbara situationer (exempel).

Däremot räcker ett exempel för att motbevisa en sats.

@@ Rad 19: / Rad 19: @@
 :1. <b><span style="color:red">Ekvation</span></b> är en likhet mellan två algebraiska uttryck med en obekant, t.ex. <math>3 + x = 2\,x</math>.
-:Man kan lösa en ekvation som kan ha en eller flera lösningar, ibland ingen alls.
 :2. <b><span style="color:red">Funktion</span></b> är ett samband mellan två variabler, t.ex. <math>y = 4\,x - 5</math>.
-:En funktion kan visas med en formel, en graf eller en tabell.
-:En funktion kan användas som matematisk modell av verkligheten.
 En definition är ett verktyg i kommunikationen, ofta <b><span style="color:red">förutsättningen</span></b> för en meningsfull kommunikation.