4.2 Introduktion till logaritmer: Exponentialfunktioner
| << Tillbaka till Talet e | Genomgång | Övningar | Logaritmlagarna |
Exponentialfunktioner är sådana funktioner som har sin oberoende variabel \( \, x \, \) i exponenten.
- Om log se nästa avsnitt: 10-logaritmer.
Inversegenskapen
Experiment
Ta fram din miniräknare och mata först inStäng parentesen och tryck på ENTER. Låt resultatet, något decimaltal, stå i displayen.
Tryck på funktionsknappen för \( \, 10\)-logaritmen:
- \( {\rm{LOG}} \)
Tryck på ANS (ANSwer lagrar räknarens sist beräknade värde), i vårt fall decimaltalet ovan.
Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka \( \, 2,5 \, \) som du hade matat in i början.
Experimentet har visat:
- \( \lg\,(10^{\,2,5}) \, = \, 2,5 \)
Experimentet ovan är ett exempel på att
\( 10\)-logaritmen \( \, y \, = \, \lg\,x \, \) är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen \( \, y \, = \, 10\,^x \, \), dvs:
- \[ \lg\,(10^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad 10^{\,\lg\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } 10^{\,x} {\rm \;och\; } \lg\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} \]
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först \( 10^{\,x} \) och sedan \( \lg\,x \) eller tvärt om, resultatet blir alltid \( \,x \).
Dvs man återvänder till det värde \( \,x \) man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför \( 10^{\,x} \) och \( \lg\,x \) direkt efter varandra.
Både \( \lg\,(10^{\,x}) \) och \( 10^{\,\lg\,x} \) är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:
Sammansatta funktioner beräknas inifrån: Experimentet ovan var ett exempel på detta. För att få \( \, \lg\,(10^{\,2,5}) \, \), beräknades först \( \, 10^{\,2,5} \) och sedan \( \, \lg\,(10^{\,2,5}) \).
Exempel på inversegenskapen
\(\begin{array}{rcll} {\rm {\color{Red} {Potensformen:}}\qquad\quad} 10^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\lg} \\ \lg\,(10^{\,x}) & = & \lg\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\ {\rm {\color{Red} {Logaritmformen:}}\qquad\quad} x & = & \lg\,68 & \\ x & = & 1,832508913\ldots & \\ {\rm Kontroll:\qquad} 10^{\,1,832508913} & = & 68 & \end{array}\)
Exponentialekvationer
Själva operationen \( a^x\, \) dvs att ta \( \, a\, \) upphöjt till \( \, x\, \) kallas för exponentiering och är en ny räkneoperation.
När \( \, x\, \) är lika med \( \, 2\, \) pratar man om kvadrering.
Anta i fortsättningen att \( x\, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .
- Funktioner av typ \( y = 10^x\, \) kallas för exponentialfunktioner, generellt \( \; y = c \cdot a^x\, \).
- Ekvationer av typ \( 10^x\,= 125 \) kallas för exponentialekvationer, generellt \( \; a^x\, = b \).
I exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer \( \, x\, \) i exponenten
I potensfunktioner och -ekvationer förekommer \( \, x \, \) i basen. Potensekvationer av typ \( \, x^a\, = b \, \) löses genom rotdragning.
Internetlänkar
http://www.youtube.com/watch?v=rYHdUrKqxaU
http://goto.glocalnet.net/larsthomee/logaritm.html
http://www.kck.amal.se/webtutor/ovel/mattec/Funktioner/F3.html
http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer
Copyright © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
