4.3 10-logaritmer

Genomgång

Quiz

Övningar

Lathund

Nästa avsnitt >>

Logaritm är bara ett annat ord för exponent.

Fil:10 logaritmen Ny 600a.jpg

Inversegenskapen

Experiment

Ta fram din miniräknare och mata först in

\( 10 \, \)^

och sedan \( \qquad 2,5 \)

Stäng parentesen och tryck på ENTER. Låt resultatet, något decimaltal, stå i displayen.

Tryck på funktionsknappen för \( \, 10\)-logaritmen:

\( {\rm{LOG}} \)

Tryck på ANS (ANSwer lagrar räknarens sist beräknade värde), i vårt fall decimaltalet ovan.

Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka \( \, 2,5 \, \) som du hade matat in i början.

Experimentet har visat:

\( \lg\,(10^{\,2,5}) \, = \, 2,5 \)

Experimentet ovan är ett exempel på att

\({\rm{LOG}} \, \)

är den inversa operationen till

\(10 \, \)^

. Generellt gäller:

\( 10\)-logaritmen \( \, y \, = \, \lg\,x \, \) är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen \( \, y \, = \, 10\,^x \, \), dvs:

\[ \lg\,(10^{\,{\color{Red} x}}) \, = \, {\color{Red} x} \quad {\rm och\; } \quad 10^{\,\lg\,{\color{Red} x}} \, = \, {\color{Red} x} \qquad\quad {\rm Dvs:\quad } \boxed{\text{LOG}} \; {\rm \;och\; } \; \boxed{\text{10^}} \;\; {\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} \]

Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först \( 10^{\,x} \) och sedan \( \lg\,x \) eller tvärt om, resultatet blir alltid \( \,x \).

Dvs man återvänder till det värde \( \,x \) man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför \( 10^{\,x} \) och \( \lg\,x \) direkt efter varandra.

Både \( \lg\,(10^{\,x}) \) och \( 10^{\,\lg\,x} \) är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: Experimentet ovan var ett exempel på detta. För att få \( \, \lg\,(10^{\,2,5}) \, \), beräknades först \( \, 10^{\,2,5} \) och sedan \( \, \lg\,(10^{\,2,5}) \).

Exempel på inversegenskapen

\(\begin{array}{rcll} {\rm {\color{Red} {Potensformen:}}\qquad\quad} 10^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\lg} \\ \lg\,(10^{\,x}) & = & \lg\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\ {\rm {\color{Red} {Logaritmformen:}}\qquad\quad} x & = & \lg\,68 & \\ x & = & 1,832508913\ldots & \\ {\rm Kontroll:\qquad} 10^{\,1,832508913} & = & 68 & \end{array}\)