4.2 Potenser med rationella exponenter & Potensekvationer
| << Tillbaka till Polynom | Genomgång | Quiz (Matte1b) | Övningar |
Potenser med rationella exponenter
Potenser med exponenter som är rationella tal (bråktal) är ett annat sätt att skriva rötter.
Därför kan de användas för att beräkna både kvadratrötter och högre rötter.
Följande samband råder mellan potenser med rationella exponenter och rötter:
Påstående:
Lagen om kvadratroten \( \quad a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} \)
Bevis:
Vi multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 2} \) två gånger med sig själv och använder första potenslagen:
- \( \displaystyle a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} \; = \; a^{{1 \over 2} + {1 \over 2}} \; = \; a^{2 \over 2} \; = \; a^1 \; = \; a \)
Å andra sidan är definitionen för kvadratroten ur \( \, a \):
\( \qquad\quad \displaystyle \sqrt{a} \; = \; \) Tal som 2 gånger multiplicerat med sig själv ger \( \, a \).
Av raderna ovan följer:
- \( \displaystyle a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} \)
I följande ska alltid gälla: \( \quad m, n \, \) heltal och \( \, n \, \neq 0 \quad \).
Påstående:
Lagen om högre rötter \( \quad a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \)
Bevisidé:
Vi visar påståendet för specialfallet \( \, n=3 \):
Vi multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder första potenslagen:
- \( \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \)
Å andra sidan är definitionen för 3:e roten ur \( \, a \):
\( \qquad\quad \displaystyle \sqrt[3]{a} \; = \; \) Tal som 3 gånger multiplicerat med sig själv ger \( \, a \).
Av raderna ovan följer:
- \( \displaystyle a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} \)
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet:
Lagen om rationell exponent \( \quad \displaystyle a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \)
Tabellen över Potenslagarna borde kompletteras med dessa lagar för rationella exponenter.
Potensekvationer
Anta i fortsättningen att \( \, x \, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .
- Funktioner av typ \( y = x^3\, \) kallas för potensfunktioner, generellt \( \; y = c \cdot x^b\, \).
- Ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) kallas för potensekvationer, generellt \( \; x^b\, = c \).
I potensfunktioner och -ekvationer förekommer \( \, x \, \) i basen.
Rotdragning är ekvivalent (identiskt) med potentiering med rationella exponenter.
För t.ex. potensekvationen \( x^3\, = 8 \) finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:
- \[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]
Alternativt med potens med rationell exponent:
- \[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\ (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} \qquad & | \; \text{3:e potenslagen på VL} \\ x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]
De alternativa lösningarna av ekvationen ovan är ett exempel på att rötter alltid kan skrivas som potenser med rationella exponenter.
