4.4 Logaritmlagarna & Logaritmer med olika baser
| << Förra avsnitt | Genomgång | Quiz Mattekollen | Övningar | Nästa avsnitt >> |
För enkelhetens skull formulerar vi logaritmlagarna med basen \( \, 10 \, \). Men de gäller även för alla andra baser.
Första logaritmlagen: \( \qquad\; \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \qquad \)
Andra logaritmlagen: \( \qquad\;\; \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \qquad \)
Tredje logaritmlagen: \( \qquad\quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \qquad \)
\( A \), \( \, B \, > \, 0 \, \) och \( \, y \, \) ett godtyckligt rationellt tal.
Logaritmlagarna är potenslagarna i logaritmform.
Man får dem genom att logaritmera potenslagarna.
Detta kommer att visas i logaritmlagarnas bevis som följer:
Bevis av logaritmlagarna
Påstående:
Första logaritmlagen \( \quad \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \)
Bevis:
Vi skriver upp första potenslagen med basen \( \, 10 \, \):
- \[ 10^x \cdot 10^y \; = \; 10^{x+y} \]
Nu logaritmerar vi båda leden med \( \, 10\)-logaritmen:
- \[ 10^x \cdot 10^y \; = \; 10^{x+y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \]
- \[ \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg\,(10^{x+y}) \]
Vi tillämpar inversegenskapen på högerledet dvs \( \lg\,(10^{x+y}) = x+y \, \):
- \[ \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; x \, + \, y \]
Inversegenskapen tillämpas baklänges på högerledet (\( x = \lg 10^x \, \) och \( y = \lg 10^y \)):
- \[ \quad \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg 10^x \, + \, \lg 10^y \]
- \[ \qquad\;\; \lg (A \cdot B) \; = \; \lg A + \lg B \]
Påstående:
Andra logaritmlagen \( \quad \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \)
Bevis:
Beviset är i sin struktur identiskt med beviset av första logaritmlagen.
Den andra potenslagen skrivs med basen \( \, 10 \, \) och logaritmeras med \( \, \lg \, \):
- \[\begin{align} {10^x \over 10^y} \; & = \; 10^{x-y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \\ \\ \lg {10^x \over 10^y} \; & = \; \lg 10^{x-y} \; = \; x \, - \, y \; = \; \lg 10^x \, - \, \lg 10^y \end{align} \]
I den sista raden tillämpas inversegenskapen fram- och baklänges som i beviset ovan.
Nya beteckningar- \[ \qquad \lg {A \over B} \; = \; \lg A \, - \, \lg B \]
Påstående:
Tredje logaritmlagen \( \quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \)
Bevis:
Den tredje potenslagen skrivs med basen \( \, 10 \, \) och logaritmeras med \( \, \lg \, \):
- \[\begin{align} (10^x)^y \; & = \; 10^{x \cdot y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \\ \\ \lg (10^x)^y \; & = \; \lg 10^{x \cdot y} \; = \; x \cdot y \; = \; \lg 10^x \cdot y \end{align}\]
I den sista raden tillämpas inversegenskapen precis som i bevisen ovan.
Beteckningen- \[ \qquad\quad \lg A^y \; = \; \lg A \cdot y \; = \; y \cdot \lg A \]
Exponentialekvationer av typ \( \quad a\,^x \, = \, b \)
Exponentialekvationen \( \quad a\,^x \, = \, b \)
har lösningen: \( \qquad\qquad\;\;\; x \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} \;\;\)
\( \; (a = \, {\rm const.} \, > \, 0) \)
Exempel
Logaritmering och användning av den tredje
logaritmlagen löser denna typ av ekvation:
\(\begin{array}{rcll} 5^{\,{\color{Red} x}} & = & 68 & | \;\; \lg\,(\,\cdot\,) \\ \lg\,(5^{\,{\color{Red} x}}) & = & \lg\,68 & : \text{3:e logaritm-} \\ & & & : \; \text{lag på VL} \\ {\color{Red} x} \cdot \lg\,5 & = & \lg\,68 & | \;\; / \,\lg\,5 \\ {\color{Red} x} & = & \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} & \\ {\color{Red} x} & = & 2,62173\ldots & \\ \end{array}\)
Kontroll:\( \qquad 5^{\,2,62173\ldots} \, = \, 68 \)
I rad 1 logaritmeras ekvationens båda led.
I rad 2➛3 ger den tredje logaritmlagen på VL:
\( \qquad\qquad \lg\,(5^{\,{\color{Red} x}}) = {\color{Red} x} \cdot \lg\,5 \)
Logaritmer med olika baser: Byte av bas
|
\(\log_{\,5}\,25 \, \) = tal som basen \(5\) ska upp- \( \qquad\qquad\;\; \) höjas till, för att ge \(25\). Det talet är \( \; {\color{Red} 2} \, \), därför att: Potensformen: \( \quad 5\,^{\color{Red} 2} \; = \; 25 \) \( \qquad\qquad\qquad\qquad\;\, \Updownarrow \) Logaritmformen: \( \quad {\color{Red} 2} \; = \; \) \( \log_{\,5}\,25 \) Läs: Logaritmen till basen \( \, 5 \, \) för \( \, 25 \, \). Logaritmen till basen \( \, 5 \, \) finns inte i räknaren. I räknaren finns logaritmer till endast två baser: \(10\)-logaritmen och logaritmen till basen \(e\) (LN). |
\( \quad \) | \(\log_{\,5}\,68 \, \) = tal som basen \(5\) ska upp- \( \qquad\qquad\;\; \) höjas till, för att ge \(68\). Om vi kallar det talet för \( \; {\color{Red} x} \, \), vet vi: Potensformen: \( \quad 5\,^{\color{Red} x} \; = \; 68 \) \( \qquad\qquad\qquad\qquad\;\, \Updownarrow \) Logaritmformen: \( \quad {\color{Red} x} \; = \; \) \( \log_{\,5}\,68 \; = \; {\color{Red} ?} \) Men: Potensformen \(=\) Exponentialekvationen med lösningen \( \; {\color{Red} x} \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} \, = \, \) \( 2,62173\ldots\) Dvs \( \; {\color{Red} x} \, = \, \) \( \log_{\,5}\,68 \) \( \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} \, = \, \) \( 2,62173\ldots\) |
Kontroll: \( \quad \log_{\,5}\,25 \) \( \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,25}{\lg\,5} \, = \, {\color{Red} 2} \)
Generellt:
|
Potensformen: \( \quad\; a\,^{\color{Red} x} \, = \, b \) \( \qquad\qquad\qquad\qquad\;\; \Updownarrow \) Logaritmformen: \( \quad {\color{Red} x} \; = \; \) \( \log_{\,a}\,b \) \( \; = \; \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} \) |
\( \quad \) |
Logaritmen till basen \( \, a \, \) för \( \, b \, \) kan om- vandlas till \( \, 10\)-logaritmer (Byte av bas): \( \qquad\quad\;\;\; {\color{#931136} {\log_{\,a} \, b}} \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} \) |
Internetlänkar
http://www.themathpage.com/aprecalc/logarithms.htm
http://www.intmath.com/exponential-logarithmic-functions/3-logarithm-laws.php
http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer
http://web.kristinehamn.se/skola/brmatematik/ornstedt/MaBreddning-1.5.pdf
Copyright © 2023 Lieta AB. All Rights Reserved.
