4.4 Logaritmlagarna & Logaritmer med olika baser

För enkelhetens skull formulerar vi logaritmlagarna med basen \( \, 10 \, \). Men de gäller även för alla andra baser.

Första logaritmlagen: \( \qquad\qquad\; \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \qquad\qquad \)

Andra logaritmlagen: \( \qquad\qquad\;\; \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \qquad\qquad \)

Tredje logaritmlagen: \( \qquad\qquad\quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \qquad\qquad \)

\( \; A \, \) och \( \, B \, \) ska vara positiva tal dvs \( \neq 0 \) och \( y \) ett godtyckligt rationellt tal.

Logaritmlagarna är potenslagar i logaritmform. Man får dem genom att logaritmera potenslagarna.

Detta kommer att visas i logaritmlagarnas bevis.

Bevis av logaritmlagarna

Påstående:

Första logaritmlagen \( \quad \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \)

Bevis:

Vi skriver upp första potenslagen med basen \( \, 10 \, \):

\[ 10^x \cdot 10^y \; = \; 10^{x+y} \]

Och logaritmerar båda leden med logaritmen till basen \( \, 10 \):

\[ 10^x \cdot 10^y \; = \; 10^{x+y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \]

\[ \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg\,(10^{x+y}) \]

Vi tillämpar inversegenskapen på högerledet (\( \,\lg \, \) och \(10 \, \)^ tar ut varandra):

\[ \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; x \, + \, y \]

Nu tillämpas inversegenskapen baklänges på högerledet (\( x = \lg 10^x \, \) och \( y = \lg 10^y \)):

\[ \lg\,(10^x \cdot 10^y) \; = \; \lg 10^x \, + \, \lg 10^y \]

Om vi inför beteckningarna \( A = 10^x\, \) och \( B = 10^y\, \) får vi påståendet:

\[ \lg (A \cdot B) \; = \; \lg A + \lg B \]

Påstående:

Andra logaritmlagen \( \quad \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \)

Bevis:

Beviset är i sin struktur identiskt med beviset av första logaritmlagen.

Den andra potenslagen skrivs med basen \( \, 10 \, \) och logaritmeras med \( \, \lg \, \):

\[\begin{align} {10^x \over 10^y} \; & = \; 10^{x-y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \\ \\ \lg {10^x \over 10^y} \; & = \; \lg 10^{x-y} \; = \; x \, - \, y \; = \; \lg 10^x \, - \, \lg 10^y \end{align} \]

I den sista raden tillämpas inversegenskapen fram- och baklänges som i beviset ovan.

Nya beteckningar \( \, A = 10^x\, \) och \( \, B = 10^y\, \) ger påståendet:

\[ \lg {A \over B} \; = \; \lg A \, - \, \lg B \]

Påstående:

Tredje logaritmlagen \( \quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \)

Bevis:

Den tredje potenslagen skrivs med basen \( \, 10 \, \) och logaritmeras med \( \, \lg \, \):

\[\begin{align} (10^x)^y \; & = \; 10^{x \cdot y} \qquad \,| \; \lg\,(\;\;) \\ \\ \lg (10^x)^y \; & = \; \lg 10^{x \cdot y} \; = \; x \cdot y \; = \; \lg 10^x \cdot y \end{align}\]

I den sista raden tillämpas inversegenskapen precis som i bevisen ovan.

Beteckningen \( \, A = 10^x\, \) leder till påståendet:

\[ \lg A^y \; = \; \lg A \cdot y \; = \; y \cdot \lg A \]