4.4 Lathund till Logaritmlagarna & Logaritmer med olika baser

<<   Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Lathund

Nästa avsnitt  >>

Logaritmlagarna

Första logaritmlagen:

\( \quad\;\, \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \qquad \)

---

Andra logaritmlagen:

\( \quad\;\; \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \qquad \)

---

Tredje logaritmlagen:

\( \qquad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \qquad \)

---

\( A \), \( \, B \, > \, 0 \, \) och \( \, y \, \) godtyckligt rationellt tal.

Exponentialekvationer av typ \( \; a\,^x \, = \, b \)

Logaritmering och användning av den tredje

logaritmlagen löser denna typ av ekvation:

\(\begin{array}{rcll} 5^{\,{\color{Red} x}} & = & 68 & | \;\; \lg\,(\,\cdot\,) \\ \lg\,(5^{\,{\color{Red} x}}) & = & \lg\,68 & : \text{3:e logaritm-} \\ & & & : \; \text{lag på VL} \\ {\color{Red} x} \cdot \lg\,5 & = & \lg\,68 & | \;\; / \,\lg\,5 \\ {\color{Red} x} & = & \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} & \\ {\color{Red} x} & = & 2,6217\ldots & \\ \end{array}\)

Kontroll:\( \qquad 5^{\,2,62173\ldots} \, = \, 68 \)

I rad 1 logaritmeras ekvationens båda led.

I rad 2➛3 ger den tredje logaritmlagen på VL:

\( \qquad\qquad \lg\,(5^{\,{\color{Red} x}}) = {\color{Red} x} \cdot \lg\,5 \)

Generellt:

Exponentialekvationen \( \;\;\; a\,^x \, = \, b \)

har lösningen: \( \qquad\qquad\;\; x \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} \)

Logaritmer till godtyckliga baser

Logaritmen till basen \( \, a \, \) för \( \, b \, \) kan

omvandlas till \( \, 10\)-logaritmer (Byte av bas):

\( \qquad\quad \log_{\,a} \, b \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} \)

\( \log_{\,a} \, b \) är logaritmformen till exponentialekvationen \( \, a\,^x \, = \, b \)

Potensform: \( \quad\;\;\; a\,^x \, = \, b \)

\( \qquad\qquad\qquad\qquad\;\,\, \Updownarrow \)

Logaritmform: \( \quad x \, = \, \log_{\,a} \, b \)

Copyright © 2010-2017 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.